Ангерова функција

Ангерова функција $\mathbf{J}_\nu(z)$ представља решење нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

$z^2y^{\prime\prime} + zy^\prime +(z^2-\nu^2)y = (z-\nu)\sin(\pi z)/\pi$

Именована је у част немачкога математичара Карла Теодора Ангера, који је 1855. први увео Ангерову функцију.

Облик

Ангерова функција је облика:

$\mathbf{J}_\nu(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (\nu\theta-z\sin\theta) \,d\theta$

Ангерова функција је блиско повезана са Беселовим функцијама.

Веберова функција

Веберова функција $\mathbf{E}_\nu(z)$ представља решење сличне нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

$z^2y^{\prime\prime} + zy^\prime +(z^2-\nu^2)y = -((z+\nu) + (z-\nu)\cos(\pi z))/\pi.$

Веберова функција је облика:

$\mathbf{E}_\nu(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin (\nu\theta-z\sin\theta) \,d\theta$

Веза Ангерове и Веберове функције

Између Ангерове и Веберове функције постоји веза:

$\sin(\pi \nu)\mathbf{J}_\nu(z) = \cos(\pi\nu)\mathbf{E}_\nu(z)-\mathbf{E}_{-\nu}(z)$

$-\sin(\pi \nu)\mathbf{E}_\nu(z) = \cos(\pi\nu)\mathbf{J}_\nu(z)-\mathbf{J}_{-\nu}(z)$

У случају да је $\nu$ цели број тада Ангерова функција постаје једнака Беселовој функцији, а Веберова функција као комбинација Струвеових функција.

Струвеове функције целобројнога реда могу да се прикажу помоћу Веберових функција E_n и обратно. Ако је n ненегативни цели број онда је:

$\mathbf{E}_n(z)=\frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\frac{\Gamma(k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma(n-1/2-k)}\mathbf{H}_n$

$\mathbf{E}_{-n}(z)=\frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\sum_{k=0}^{[\frac{n-1}{2}]} \frac{\Gamma(n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma(k+3/2)}\mathbf{H}_{-n}.$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Ангерова и Веберова функција