Безуов став

Из Википедије, слободне енциклопедије

Безуов став је једна од алгебарских теорема која дефинише дељивост два полинома при специјалном случају када је делилац облика x-\alpha. Може се употребити за растављање полинома на чиниоце. Добио је име по француском математичару Етјену Безуу.[1][2][3]

Теорема (Безуов став). Нека је дат полинном  P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n\;(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n \in \mathbb R), и нека је дат полином  Q(x) = x - \alpha\; (\alpha \in \mathbb R) , тада полином P(x) при дељењу полиномом Q(x) даје остатак P(\alpha). Специјално ако је P(\alpha)=0 полином P(x) је дељив полиномом Q(x).


Доказ. При општем случају, дељење два полинома се може записати као:

 P(x) = B(x)\cdot Q(x) + R

Где је B(x) неки полином који представља количник, а R остатак при дељењу полинома P(x) са Q(x). Замењивањем Q(x) = x - \alpha се добија:

 P(x) = B(x)(x-\alpha) + R

Коначно, при случају x-\alpha се добија

 P(\alpha) = B(x)(\alpha-\alpha) + R,

односно, P(x)=R што је и требало доказати.

Пример[уреди]

Ако узмемо полином:

X^2+3X+2 \,

Узећемо једини слободан члан, а то је у овом случају број 2 и одредићемо његове позитивне и негативне делиоце (1, -1, 2,-2). Ове делиоце ћемо замењивати за Х. Делићемо једначину са (Х-n(број са чијом смо заменом добили нулу)). Одређујемо:

p(x)=X^2+3X+2 \,

За +1 добија се:

p(+1)=1+3+2=6 \neq 0 \,

Следи да полином није дељив са X-1.

За -1 добија се:

p(-1)=1-3+2=0 \,

Следи да је полином дељив са X+1.

За +2 добија се:

p(+2)=4+6+2=12 \neq 0 \,

Следи да полином није дељив са X-2.

За -2 добија се:

p(-2)=4-6+2=0 \,

Следи да је полином дељив са X+2.

Након ове необавезне провере, дељење изгледа овако:

Дељење са X+1

(X^2+3X+2):(X+1) = X+2\,

-(X^2+X) \,

2X+2 \,
-(2X+2) \,
0 \,

Провера дељења

(X+2) (X+1)= X^2 +2X + X +2 = X^2 + 3X +2 \,

Дељење са X-1

(X^2+3X+2):(X-1) = X+4\, и остатак 6 \,

-(X^2-X) \,

4X+2 \,
-(4X-4) \,
6 \,

Провера дељења

(X+4) (X-1) +6 = X^2 + 4X - X -4 +6 = X^2 + 3X +2 \,

Дељење са X+2:

(X^2+3X+2):(X+2) = X+1\,

-(X^2+2X) \,

X+2 \,
-(X+2) \,
0 \,

Провера дељења

(X+1) (X+2)= X^2 +X + 2X +2 = X^2 + 3X +2 \,

Дељење са X-2

(X^2+3X+2):(X-2) = X+5\, и остатак 12 \,

-(X^2-2X) \,

5X+2 \,
-(5X-10) \,
12 \,

Провера дељења

(X+5) (X-2) +12 = X^2 + 5X - 2X -10 +12 = X^2 + 3X +2 \,

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6. 
  2. ^ Claude Gaspard Bachet, sieur de Méziriac, Problèmes plaisants et délectables, 2nd ed. (Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates, 1624), pages 18-33. Bavarian State Library
  3. ^ Maarten Bullynck (February 2009). „Modular arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th century Germany“. Historica Mathematica 36 (1): 48-72. 

Литература[уреди]

  • Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.