Бернулијеви бројеви

Бернулијеви бројеви $B_k$ представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:

$S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose{k}} B_k\; n^{m+1-k}$

Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	0	$-\frac{1}{30}$	0	$\frac{1}{42}$	0	$-\frac{1}{30}$	0	$\frac{5}{66}$	0	$-\frac{691}{2\;730}$	0	$\frac{7}{6}$

Генерирајућа функција

$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\,\frac{x^{k}}{k!}= 1-\frac{1}{2}\,x+\frac{1}{6}\,\frac{x^2}{2!} -\frac{1}{30}\,\frac{x^4}{4!} +\frac{1}{42}\,\frac{x^6}{6!} -\frac{1}{30}\,\frac{x^8}{8!} +\frac{5}{66}\,\frac{x^{10}}{10!} +\ldots$

за $|x|<\pi$

Рекурзивна формула

$\displaystyle{B_0=1\; ,}$

$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n {n+1\choose{k+1}} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.$

Својства

Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева:

$\sum\limits_{a\leq k<b}f(k)=\int_a^b f(x)\,dx \ + \sum\limits_{k=1}^m \frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R(f,m).$

Бернулијеви бројеви користе се и приликом развоја следећих функција:

• $x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$
• $\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$.
• Леонард Ојлер је нашао везу између Бернулијевих бројева и Риманове зета-функције ζ(s) за парне s = 2k:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.$

Одатле следи:

$\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\;$ за све n.

Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом:

• $\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Бернулијеви бројеви