Бернулијеви бројеви

Из Википедије, слободне енциклопедије

Бернулијеви бројеви  B_k представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:

 S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m  {m+1\choose{k}} B_k\; n^{m+1-k}

Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 -\frac{1}{2} \frac{1}{6} 0 -\frac{1}{30} 0 \frac{1}{42} 0 -\frac{1}{30} 0 \frac{5}{66} 0 -\frac{691}{2\;730} 0 \frac{7}{6}

Генерирајућа функција[уреди]

\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\,\frac{x^{k}}{k!}= 1-\frac{1}{2}\,x+\frac{1}{6}\,\frac{x^2}{2!}
-\frac{1}{30}\,\frac{x^4}{4!}
+\frac{1}{42}\,\frac{x^6}{6!}
-\frac{1}{30}\,\frac{x^8}{8!}
+\frac{5}{66}\,\frac{x^{10}}{10!}
+\ldots

за |x|<\pi

Рекурзивна формула[уреди]

\displaystyle{B_0=1\; ,}
B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n {n+1\choose{k+1}}  B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.

Својства[уреди]

Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева:

 \sum\limits_{a\leq k<b}f(k)=\int_a^b f(x)\,dx \ + \sum\limits_{k=1}^m \frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R(f,m).

Бернулијеви бројеви користе се и приликом развоја следећих функција:

B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
Одатле следи:
\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\; за све n.

Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом:

  • \int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.

Литература[уреди]