Грам—Шмитов поступак ортонормализације

Из Википедије, слободне енциклопедије

Грам—Шмитов поступак ортонормализације је метод у линеарној алгебри, који служи за ортогонализацију и нормирање скупа вектора у задатом еуклидском простору.

Поступак је следећи. Узмимо на пример векторски простор произвољне димензије Rn, са базом {v1, v2, ... ,vn}, Грам-Шмитовим поступком ортогонализације можемо да трансформишемо базу {vi} у ортонормирану базу, {ui}. Прво нормализујемо v1: u1=v1/||v1||.

Затим израчунавамо w2=v2-<v2,u1>u1, па нормализујемо w2: u2=w2/||w2||

Овај поступак применимо за све векторе из базе {vi}: wi+1=vi+1-<vi+1,uiui>- ... - <vi+1,u1>u1 и ui+1=wi+1/||wi+1||. Вектори {u1, ... ,vn} су линеарно независни, и стога чине базу векторског простора Rn.

Пример[уреди]

Узмимо следећи скуп вектора у Rn (са уобичајеним скаларним производом)

S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.

Сада применимо Грам-Шмитов поступак како бисмо добили ортогонални скуп вектора:

\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
 \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}.

Проверимо векторе u1 и u2 како бисмо утврдили да су стварно ортогонални:

\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

Сада можемо и да их нормализујемо, тако што ћемо их поделити са њиховим дужинама:

Први кораци Грам-Шмитовог поступка.
\mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
\mathbf{e}_2 = {1 \over \sqrt{40 \over 25}} \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}
 = {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.