Кватернион

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кватернион представља збир скалара и вектора и као такав објекат није ни вектор ни скалар. Појам кватерниона увео је Хамилтон. Пример кватериона можемо наћи при проучавању ротације тела око непомичне осе. Када поделимо два скалара рецимо m и n добијамо опет скалар p=m/n што можемо написати као m=pn. По аналогији количник два вектора a и b који у општем случају нису колинеарни је нека величина коју означавамо са Q при чему као таква треба да задовољава једнакост a =Q b. Производ Q b геометријски представља деформацију (с обзиром да вектори нису у општем случају колинеарни) и обртање вектора b за угао Θ=<(a, b) до поклапања са a. Како би дефинисали дељење два вектора, мора се претходно дефинисати величина Q. Ову величину је Хамилтон приказао у облику збира скалара А и вектора a. Величину Q=А+ a пошто је одређена са четири броја назвао је кватернион. Кватернион није могуће представити геометријски с обзиром да је за тако нешто потребно имати четири осе једну за скалар и три за вектор.


Особине[уреди]

q ::= a + bi + cj + dk \! где су  a,b,c,d\in\mathbb{R}

а i\!, j\! и k\! испуњавају следеће услове:

 m * n  \! i  \! j  \! k  \!
i  \! -1  \! k  \! -j  \!
j  \! -k  \! -1  \! i  \!
k  \!  j  \! -i  \! -1  \!

Матрични облик[уреди]

Ако су елементи матрице комплексни бројеви онда је она димензије 2 * 2

\begin{pmatrix} a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}

За реалну матрицу:

\begin{pmatrix}
 \;\; a & b & \;\; c & d \\ 
 \;\; -b & \;\; a & -d & c \\
 \;\; -c & \;\; d & \;\; a & -b \\
 \;\; -d & \;\; -c & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}

Где су  a,b,c,d\in\mathbb{R}.