Корисник:SD2514/песак

Историја логаритма

Историја логаритама је прича о кореспонденцији (у модерним терминима, групном изоморфизму) између множења на позитивним реалним бројевима и збрајања на правој бројној линији која је формализована у Европи у седамнаестом веку и нашироко је коришћена за поједностављење рачунања до појаве дигиталног рачунара. Напиерски логаритми су први објављени 1614. Хенри Бриггс је увео уобичајене (базне 10) логаритме, који су били лакши за употребу. Табеле логаритама су објављиване у више облика током четири века. Идеја логаритама је такође коришћена за конструисање правила слајда, који је постао свеприсутан у науци и инжењерству све до 1970-их. Пробој који је генерисао природни логаритам резултат је потраге за изразом површине против правоугаоне хиперболе и захтевао је асимилацију нове функције у стандардну математику.

Садржај

• 1 Заједнички логаритам
• 2 Природни логаритам
• 3 Пионири логаритама
• 3.1 Претходници
• 3.2 Бурги
• 3.3 Напиер
• 3.4 Еулер
• 4 Таблица логаритама
• 4.1 Ране таблице
• 5.Логаритмар
• 5.1 Модерна форма
• 6. Референце

• 6.1 Изворни извори
• 6.2 Секундарни извори
• 7 Спољашње везе

Уобичајени логаритам

Пошто је заједнички лог од десет једнак, од стотину је два, а хиљада је три, концепт заједничких логаритама је веома близу децимално-позиционом систему бројева. Каже се да заједнички дневник има базу 10, али база 10.000 је древна и још увек уобичајена у источној Азији. У својој књизи Тхе Санд Рецконер, Архимед је користио множење као основу система бројева осмишљених да преброје зрнца песка у универзуму. Као што је наведено 2000. године у антици Архимед је дао рецепт за редуцирање множења на збрајање користећи геометријску прогресију бројева и повезујући их са аритметичком прогресијом.

Године 1616. Хенри Бригс је посетио Напиер у Единбургу како би разговарао о предложеној промени Напиер-ових логаритама. Следеће године поново је посетио из сличне сврхе. Током ових конференција договорена је измена коју је Бригс предложио, а по повратку из друге посете Единбургу 1617. године објавио је први хилиад својих логаритама.

Године 1624. Бригс је објавио свој Аритхметица Логаритхмица, у фолиоу, рад који садржи логаритме од тридесет хиљада природних бројева до четрнаест децималних места (1-20,000 и 90,001 до 100,000). Ову табелу су касније проширили Адриан Влацк, али на 10 места, а Алекандер Јохн Тхомпсон на 20 места 1952. године.

Бригс је био један од првих који је користио методе коначних разлика за израчунавање табела функција. [2] [3] Завршио је и табелу логаритамских синуса и тангената за стоти део сваког степена до четрнаест децималних места, са табелом природних синуса до петнаест места, а тангенте и секанце за исто на десет места, од којих су сви одштампани у Гауди 1631. и објављен 1633. под називом Тригонометрија Британница; овај рад је вероватно био наследник његовог 1617 Логаритхморум Цхилиас Прима ("Првих хиљаду логаритама"), који је дао кратак приказ логаритама и дугачке табеле од првих 1000 целих бројева израчунатих до 14. децималног места.

Природни логаритам

Године 1649. Алпхонсе Антонио де Сараса, бивши ученик Гргуро де Саинт-Винцента, [4] се односио на логаритме на квадратуру хипербола, указујући да је подручје А (т) под хиперболом од к = 1 до к = задовољава Природни логаритам је први описао Ницхолас Мерцатор у свом раду Логаритхмотецхниа објављеном 1668. године, [6] иако је професор математике Јохн Спеиделл већ 1619. саставио табелу о томе шта су заправо природни логаритми, засновани на Напиеровом раду.

Историчар Том Вхитесиде описао је прелазак на аналитичку функцију на следећи начин: [8]

До краја 17. века можемо рећи да је много више од тога што је прорачунски уређај прикладно добро табулисан, логаритамска функција, у великој мери на моделу хипербола-подручја, прихваћена у математику. Када је у 18. веку ова геометријска основа одбачена у корист потпуно аналитичког, није било потребе за проширењем или преформулацијом - концепт "подручја хипербола" је безболно претворен у "природни логаритам".

Пионири логаритама

Вавилонци негде у периоду од 2000. до 1600. пне. Можда су измислили алгоритам умножавања четврт квадратног квадрата да множе два броја користећи само збрајање, одузимање и табелу четвртастих квадрата. Тако, таква табела служи сличној намени као и табелама логаритама, који такође дозвољавају да се израчуна множење помоћу додатака и табеларних прегледа. Међутим, метод кварталног квадрата није могао да се користи за поделу без додатне табеле реципрочних (или познавање довољно једноставног алгоритма за генерисање реципроцала). За поједностављење прецизног множења великих бројева од 1817. године па надаље, коришћени су велики столови квадратних квадрата све док то није замењено употребом компјутера.

Индијски математичар Вирасена је радио на концепту ардхацхеда: број пута када би број облика 2н могао бити преполовљен. За тачне силе од 2, ово је једнако бинарном логаритму, али се разликује од логаритма за друге бројеве. Описао је формулу производа за овај концепт и такође увео аналогне концепте за базу 3 и базу 4.

Мицхаел Стифел је објавио Аритхметица интегра у Нирнбергу 1544. године, који садржи табелу целих бројева и моћи 2 која се сматрала раном верзијом табеле бинарних логаритама.

У 16. и почетком 17. века алгоритам се зове простапхаереза ​​за приближавање множења и поделе. Ово је користило тригонометријски идентитет

$\cos \alpha \cos \beta =1/2(cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta ))$

или слично за конвертовање множења у додатке и прегледе табела. Међутим, логаритми су једноставнији и захтевају мање рада. Може се показати користећи Еулерову формулу да су ове две технике повезане.

Бурги

Швајцарски математичар Јост Бурги конструисао је табелу прогресија која се може сматрати табелом антилогаритама независно од Јохна Напиера, чије је објављивање (1614) познато до времена када је Бурги објављен по налогу Јоханнеса Кеплера. Знамо да је Бурги имао неки начин да поједностави израчуне око 1588. године, али је највероватније на овај начин коришћен простапхаереза, а не употреба његове табеле прогресија која се вероватно враћа на око 1600. године. Заиста Виттицх, који је био у Каселу из 1584. године до 1586, донела са собом знање о простхапхереис, методу којим се множења и поделе могу замијенити додацима и одузимањем тригонометријских вриједности ... Ова процедура постиже исто што и логаритми неколико година касније.

Напиер

Метод логаритама је јавно објавио Јохн Напиер 1614. године, у књизи под називом Мирифици Логаритхморум Цанонис Десцриптио (опис чудесног правила логаритама). Јоханнес Кеплер, који је интензивно користио логаритамске столове како би саставио своју Епхемерис и зато га посветио Напиеру, приметио је:

... нагласак у калкулацији довео је Јустуса Биргиуса [Јоост Бурги] на пут до ових логаритама много година пре него што се појавио Напиеров систем; али ... уместо да одгаја своје дете за опште добро, напустио га је приликом рођења.

- Јоханнес Кеплер [19], Рудолпхине Таблес (1627)

Поновљеним одузимањем Напиер је израчунао (1 - 10-7) Л за Л у распону од 1 до 100. Резултат за Л = 100 је приближно 0,99999 = 1 - 10−5. Напиер је затим израчунао производе ових бројева са 107 (1 - 10-5) Л за Л од 1 до 50, и учинио слично са 0.9998 ≈ (1 - 10−5) 20 и 0.9 ≈ 0.99520. Ове рачунице, које су заузимале 20 година, омогућиле су му да за било који број Н од 5 до 10 милиона, да број Л који решава једначину. Напиер је Л прво назвао "вештачким бројем", али је касније увео реч "логаритам" да би означио број који означава однос: λογος (логос) што значи пропорцију, и αριθμος (аритхмос) што значи број. У модерној нотацији, однос према природним логаритмима је где врло блиска апроксимација одговара опажању.

Изум је брзо и широко прихваћен. Радови Бонавентуре Цавалиери (Италија), Едмунда Вингатеа (Француска), Ксуе Фенгзуо (Кина) и Цхилиас логаритхморум (Њемачка) Јоханнеса Кеплера допринијели су ширењу концепта.

Еулер

Око 1730. године Леонхард Еулер је дефинисао експоненцијалну функцију и природни логаритам

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }(1+x/n)^{n}$

$\ln(x)=\lim _{n\to \infty }n(x^{1/n}-1)$

У свом уџбенику из 1748. Увод у анализу бесконачног, Еулер је објавио сада стандардан приступ логаритмима преко инверзне функције: У поглављу 6, "О експоненцијалним и логаритамским", он почиње са константном базом а и разматра трансценденталну функцију $y=a^{z}$ његов инверзни је логаритам:

z = log_a y.

Табеле логаритама

Математичке табеле које садрже заједничке логаритме (база-10) су у великој мери коришћене у рачунању пре појаве компјутера и калкулатора, не само зато што логаритми претварају проблеме умножавања и поделе у много лакше проблеме додавања и одузимања, већ за додатну особину која је јединствена у базу-10 и доказано је корисно: Било који позитиван број може се изразити као производ броја из интервала [1,10] и целог броја снаге од 10. Ово се може замислити као пребацивање децималног сепаратора датог броја на лево даје позитивно, а десно негативни експонент од 10. Само логаритми ових нормализованих бројева (апроксимирани одређеним бројем цифара), који се називају мантисама, морају бити табелирани у листама на сличну прецизност ( сличан број цифара). Ове мантисе су све позитивне и затворене у интервалу [0,1]. Уобичајени логаритам датог позитивног броја добија се додавањем мантисе у заједнички логаритам другог фактора. Овај логаритам се назива карактеристиком датог броја. Пошто је заједнички логаритам снаге од 10 тачно експонент, карактеристика је целобројни број, што чини заједнички логаритам изузетно корисним у обради децималних бројева. За бројеве мање од 1, карактеристика чини резултујући логаритам негативним, по потреби. Погледајте заједнички логаритам за детаље о употреби карактеристика и мантиса.

Paне табеле

Мицхаел Стифел је објавио Аритхметица интегра у Нирнбергу 1544. који садржи табелу [27] целих бројева и моћи 2 која се сматрала раном верзијом логаритамске табеле.

Метод логаритама је јавно објавио Јохн Напиер 1614. године, у књизи под називом Мирифици Логаритхморум Цанонис Десцриптио (Опис чудесног правила логаритама). Књига садржи педесет седам страница објашњења и деведесет страница табела које се односе на природне логаритме. Енглески математичар Хенри Бриггс посјетио је Напиер 1615. године и предложио поновно скалирање Напиерових логаритама како би се формирало оно што је сада познато као заједнички логаритам. Напиер је делегирао Бриггс-у рачунање ревидиране табеле, а касније су објавили 1617. Логаритхморум Цхилиас Прима ("Прва тисућа логаритама"), који је дао кратак приказ логаритама и табеле за првих 1000 природних бројева израчунатих до 14. децималног места.

Године 1624. појавио се Аритхметица Логаритхмица, фолио, рад који садржи логаритме од тридесет хиљада природних бројева до четрнаест децималних места (1-20,000 и 90,001 до 100,000). Ову табелу су касније проширили Адриаан Влацк, али на 10 места, а Алекандер Јохн Тхомпсон на 20 места 1952. године.

Бригс је био један од првих који је користио методе коначних разлика за израчунавање табела функција.

Касније је утврђено да Влацкова табела садржи 603 грешке, али "то се не може сматрати великим бројем, када се сматра да је табела резултат оригиналног израчуна, и да је више од 2,100,000 штампаних бројева подложно грешкама." Издање Влацковог рада, са многим исправкама, издато је 1794. године у Лајпцигу под називом Тхесаурус Логаритхморум Цомплетус аутора Јурија Веге.

Седамокласна табела Франсоа Каллета (Париз, 1795), уместо 100,000, дала је логаритме од осам места бројева између 100.000 и 108.000, како би се умањиле грешке интерполације, које су биле највеће у раном делу табела, и овај додатак је обично укључен у табеле са седам места. Једини важан објављени наставак Влацк-ове табеле био је господин Санг 1871. године, чија је табела садржавала логаритме свих седам бројева испод 200.000.

Бриггс и Влацк су такође објавили оригиналне табеле логаритама тригонометријских функција. Бриггс је довршио табелу логаритамских синуса и логаритамских тангената за стоти део сваког степена до четрнаест децималних места, са табелом природних синуса до петнаест места, а тангенте и секанце за исто на десет места, од којих су све штампане у Гоуда 1631. и објављен 1633. под називом Тригонометриа Британница. Логаритми табела тригонометријских функција поједностављују ручне прорачуне где се функција угла мора множити са другим бројем, као што је често случај.

Поред горе поменутих табела, под водством Гаспард де Прониа, првобитним прорачуном, под окриљем француске републиканске владе из 1790-их година, направљена је велика збирка, под називом Таблес ду Цадастре. Овај рад, који је садржавао логаритме свих бројева до 100.000 до деветнаест места, и бројева између 100.000 и 200.000 до двадесет четири места, постоји само у рукопису, "у седамнаест огромних фолија," у опсерваторији у Паризу. Почео је 1792. године, а "све калкулације, које су осигурале већу прецизност извршене су у дупликату, и два рукописа који су накнадно обрађени пажљиво, завршени су у кратком периоду од двије године." Кубична интерполација се може користити за проналажење логаритма било ког броја са сличном тачношћу.

За различите потребе, састављене су логаритамске табеле од малих приручника до вишеструких издања

Година	Аутор	Опсег	Децимална места	Белешка
1617	Henry Briggs, Logarithmorum Chilias Prima	1–1000	14	види слику
1624	Henry Briggs Arithmetica Logarithmica	1–20,000, 90,000–100,000	14
1628	Adriaan Vlacq	20,000–90,000	10	садржи само 603 грешке
1792–94	Gaspard de Prony Tables du Cadastre	1–100,000 and 100,000–200,000	19 and 24,	никад објављена
1794	Jurij Vega Thesaurus Logarithmorum Completus(Leipzig)			побољшана верзија Vlacq -овог
1795	François Callet (Paris)	100,000–108,000	7
1871	Sang	1–200,000	7

Логаритмар

Правило слајда је изумљено око 1620–1630, убрзо након што је Јохн Напиер објавио концепт логаритма. Едмунд Гунтер из Оксфорда развио је прорачунски уређај са једном логаритамском скалом; са додатним мерним алатима може се користити за множење и дељење. Први опис ове скале објављен је у Паризу 1624. године од стране Едмунда Вингатеа (ц. Стр. 593–1656), енглеског математичара, у књизи под насловом Л'усаге де ла реигле де дележ ен л'аритхметикуе & геометрие. Књига садржи двоструку скалу, логаритамску на једној страни, табуларну на другој. Године 1630. Виллиам Оугхтред из Кембриџа изумио је правило кружног слајда, а 1632. комбиновао је два ручна Гунтер правила како би направио уређај који је препознатљиво модерно правило. Као и његов сувременик у Кембриџу, Исак Њутн, Оугхтред је учио своје идеје приватно својим ученицима. Такодје, као и Њутн, он се упустио у оштар спор око приоритета, са својим некадашњим студентом Ричардом Деламаином и претходним тврдњама Вингатеа. Оугхтредове идеје су објављене само у публикацијама његовог студента Виллиама Форстера 1632. и 1653. године.

Године 1677. Хенри Цоггесхалл је створио правило преклапања од два метра за мјерење дрва, названо Цоггесхалл слајдовим правилом, проширујући кориштење правила клизања изван математичког истраживања.

Године 1722. Варнер је увео две и три деценије, а 1755. године Еверард је укључио обрнуту скалу; правило слајда које садржи све ове скале је обично познато као "вишефазно" правило.

1815. године, Петер Марк Рогет је изумео правило слајдова лог дневника, које је укључивало скалу која приказује логаритам логаритма. Ово је омогућило кориснику да директно изврши израчуне које укључују корене и експоненте. Ово је посебно било корисно за делимичне овласти.

Године 1821. Натханиел Бовдитцх је описао у америчком практичном навигатору "клизно правило" које је садржавало тригонометријске функције скала на фиксном дијелу и линију лог-синова и лог-тана на клизачу који се користио за рјешавање проблема навигације.

Године 1845. Паул Цамерон из Гласгова увео је наутичко правило способно да одговори на навигацијска питања, укључујући право уздизање и одбијање сунца и главних звезда.

Модерна форма

Модернији облик слајдске владавине је 1859. године створио француски артиљеријски поручник Амедее Маннхеим, "који је имао срећу да је његова влада направила фирма националног угледа и да ју је усвојила француска артиљерија". Било је отприлике у то време да је инжењеринг постао призната професија, што је резултирало широком употребом слајдова у Европи - али не иу Сједињеним Државама. Тамо је Едвин Тхацхер је цилиндрично правило одржан након 1881. Дуплекс правило је изумио Виллиам Цок у 1891, а продуцирао Кеуффел и Ессер Цо. из Нев Иорка.

Референце

1. Уметни пасус
   1. Ian Bruce (2000) "Napier’s Logarithms", American Journal of Physics 68(2):148
   2. ^ Jump up to:^{a b}
   3. ^ Jump up to:^{a b}
   4. ^ In 1647, Gregoire de Saint-Vincent published his book, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni(Geometric work of squaring the circle and conic sections), vol. 2 (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1647). On page 586, Proposition CIX, he proves that if the abscissas of points are in geometric proportion, then the areas between a hyperbola and the abscissas are in arithmetic proportion. This finding allowed Saint-Vincent's former student, Alphonse Antonio de Sarasa, to prove that the area between a hyperbola and the abscissa of a point is proportional to the abscissa's logarithm, thus uniting the algebra of logarithms with the geometry of hyperbolas. See: Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi ... [Solution to a problem proposed by the reverend father Marin Mersenne, member of the Minim order ... ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa's critical finding occurs on page 16 (near the bottom of the page), where he states:"Unde hae superficies supplere possunt locum logarithmorum datorum ... " (Whence these areas can fill the place of the given logarithms ... ). [In other words, the areas are proportional to the logarithms.] See also: Enrique A. González-Velasco, Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (New York, New York: Springer, 2011), page 118.
   5. ^ Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi ... [Solution to a problem proposed by the reverend father Marin Mersenne, member of the Minim order ... ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa realized that given a hyperbola and a pair of points along the abscissa which were related by a geometric progression, then if the abscissas of the points were multiplied together, the abscissa of their product had an area under the hyperbola which equaled the sum of the points' areas under the hyperbola. That is, the logarithm of an abscissa was proportional to the area, under a hyperbola, corresponding to that abscissa. This finding united the algebra of logarithms with the geometry of hyperbolic curves.
   6. ^ Derek Thomas Whiteside (1961) "Patterns of mathematical thought in the later seventeenth century", Archive for History of Exact Sciences 1(3):179–388, § III.1 The logarithm as a type-function pp 214–231, quote p 231
   7. ^ Jost Bürgi, Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen … [Arithmetic and Geometric Progression Tables … ], (Prague, (Czech Republic): University [of Prague] Press, 1620). Available on-line at: Bavarian State Library, Germany Unfortunately, Bürgi did not include, with his table, instructions for using the table. Neither the table nor the instructions were published, apparently only proof sheets of the table were printed. The contents of the instructions were reproduced in: Hermann Robert Gieswald, Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen [Justus Byrg as a mathematician, and an introduction to his logarithms] (Danzig, Prussia: St. Johannisschule, 1856), pages 26 fф
   8. ^ E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables(Macmillan, New York, 1913).
   9. ^ Athenaeum, 15 June 1872. See also the Monthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872.
   10. ^ Jump up to:^{a b} English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., article "Prony."
   11. ^ "this cannot be regarded as a great number, when it is considered that the table was the result of an original calculation, and that more than 2,100,000 printed figures are liable to error.", Athenaeum, 15 June 1872. See also Glaisher, in Monthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872, pp255-262.
   12. ^ "Cameron's Nautical Slide Rule", The Practical Mechanic and Engineer's Magazine, April 1845, p187 and Plate XX-B
   13. ^ The Polyphase Duplex Slide Rule, A Self-Teaching Manual, Breckenridge, 1922, p. 20.

Оригинални извори

• Henry Briggs (1624) Arithmetica Logarithmica
• Grégoire de Saint-Vincent (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni
• Christiaan Huygens (1651) Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, in Oeuvres Complètes, Tome XI, link from Internet Archive.
• Patavii (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura
• William Brouncker (1667) The Squaring of the Hyperbola, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, abridged edition 1809, v. i, pp 233–6, link form Biodiversity Heritage Library.
• James Gregory (1668) Exercitationes Geometricae, Geometria pars vniversalis (Universal part of geometry), link from Andrew Leahy translation at Knox College.
• Nicholas Mercator (1668) Logarithmitechnia, London

Спољашње везе

• Rafael Villareal-Calderon (2008) Chopping Logs: A Look at the History and Uses of Logs, The Montana Mathematical Enthusiast 5(2,3): 237 to 44, link from University of Montana
• Kathleen M. Clark & Clemency Montelle (January 2011) Logarithms: the Early History of a Familiar Function,Convergence, link from Mathematical Association of America