Batervortov filtar

Из Википедије, слободне енциклопедије
(преусмерено са Batervortov filter)
Poređenje fazne karakteristike kod ova tri tipa filtra
Poređenje amplitudske karakteristike kod ova 3 tipa filtra
Poređenje Besselovog i Batervortovог filtra

Batervortov filtar je tip filtra koji ima ravnu opadajuču karakteristiku, u propusnom opsegu i smatra se kompromisom između Čebiševog i Beselovog filtra. Filtar je nazvan po Britanskom inžinjeru Stivenu Batervortu (Stephen Butterworth) koji ga je prvi opisao 1930. godine.

Uopšteno[уреди]

Ovaj termin se više odnosi na tip odziva nego na specifičan tip filtra. Prenosna funkcija se tako dimenzioniše da nema „talasanja“ u propusnom opsegu i opada prema nuli u nepropusnom[1]. Ovo se postiže izjednačavanjem izvoda prenosne funkcije sa nulom, na centralnoj učestanosti filtra (to je npr. nula za niskopropusne filtre).

Ovdje ću detaljnije obraditi niskopropusne, visokopropusne kao i filtre propusnike opsega, u slučaju kad je dato kolo nižeg ili kolo višeg reda. Filtri prvog reda su oni kod kojih odziv opada 6dB po oktavi (20dB po dekadi). Kod filtara drugog reda, riječ je o -12 dB/oct, dok se kod trećeg reda radi o -18/oct.

Dizajn filtra[уреди]

Postoje nekoliko različitih topologija, odnosno vrsta izrade ovog linearnog, analognog filtra. Najkorištenije su Kauerova i Salen-Ki topologije.

Salen-Ki topologija[уреди]

Salen-Ki topologija koristi aktivne i pasivne komponente (uglavnom su to operacioni pojačavači, otpornici i kondenzatori). Svaki stepen Salen-Kija dodaje po par polova. Na kraju se svi stepeni filtra povežu redno.[2]

Generički primjer Sallen-Key topologije

Analiza generičkog primjera[уреди]

Sa slike se vidi da je kod OP-a zatvorena negativna sprega pa je stoga V-=V+=Vout. Napišimo jednačinu za čvor X:

\frac{v_{\text{in}}-v_x}{Z_1}=\frac{v_x-v_{\text{out}}}{Z_3} + \frac{v_x-v_-}{Z_2}

ili:

\frac{v_{\text{in}}-v_x}{Z_1}=\frac{v_x-v_{\text{out}}}{Z_3}+\frac{v_x-v_{\text{out}}}{Z_2}

Struja je ista kroz elemente Z2 i Z4 pa je očigledno:

\frac{v_x-v_{\text{out}}}{Z_2}=\frac{v_{\text{out}}}{Z_4}

Iz čega dobijamo

v_x=v_{\text{out}} \left( \frac{Z_2}{Z_4}+1 \right)
(3)\,

Uvrstimo li to u jednačinu za čvor X, dobijamo:

\frac{v_{\text{in}}-v_{\text{out}} \left( \frac{Z_2}{Z_4}+1 \right)}{Z_1}=\frac{v_{\text{out}} \left( \frac{Z_2}{Z_4}+1 \right)-v_{\text{out}}}{Z_3}+\frac{v_{\text{out}} \left( \frac{Z_2}{Z_4}+1 \right)-v_{\text{out}}}{Z_2}
(4)\,

Iz čega dobijamo prenosnu funkciju:

\frac{v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}} = \frac{Z_3 Z_4}{Z_1 Z_2 + Z_3(Z_1 + Z_2) + Z_3 Z_4}
(5)\,

Ako bi komponenta Z3 bila uzemljena, filtar bi bio djelitelj napona (na Z1 i Z3), kaskadno vezan sa djeliteljem napona na Z2 i Z3.

Zavisno od odabira pasivnih komponenti za \Z_{\text{1-4}} (otpornika i kondenzatora) može se dobiti niskopropusni, visokopropusni ili filtar propusnik opsega.

Primjer analize niskopropusnog filtra[уреди]

Niskopropusni filtar napravljen implementacijom Salln-Ki topologije

Za amortizaciju (kao bafer) se koristi OP, ali se takođe može koristiti i BJT emiter . Komponente su odabrane na sljedeći način: Z1=R1; Z2=R2; Z3=1/(sC1); Z4=1/(sC2) .

Uvrštavanjem ovih vrijednosti u izraz za prenosnu funkciju koji smo dobili u prethodnom slučaju, dobijamo:

H(s)=\frac{\frac{1}{s^2C_1C_2}}{{R_1R_2} + \frac{R_1+R_2}{sC_1} + \frac{1}{s^2C_1C_2}}

Da bi zadovoljili opštu formulu:

 H(s) = \frac{ \overbrace{ ( 2 \pi f_c )^2 }^{ \omega_c^2 } }{ s^2 + \underbrace{ 2 \pi \frac{ f_c }{Q} }_{\frac{\omega_c}{Q} = 2 \zeta \omega_c }s + \underbrace{( 2 \pi f_c )^2}_{\omega_c^2} }

svodimo na:

 H(s) = \frac{\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}}{\frac{1}{R_1R_2C_1C_2} + \frac{s(R_1 + R_2)}{R_1R_2C_1} + s^2}

iz čega se lako zaključi da je:

\omega_c=\sqrt{\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}} tj. : f_c = \frac{1}{ 2 \pi \sqrt{R_1R_2C_1C_2} } . Takođe se dobija da je : Q = \frac{ \sqrt{ R_1 R_2 C_1 C_2 } }{ C_2 \left( R_1 + R_2 \right) }

f_c\, predstavlja cutoff frekvenciju (\omega_c, naravno cutoff kružnu učestanost), dok je Q\, faktor dobrote (bezdimenziona veličina) koji opisuje koliko je visok i širok pik odziva filtra. Veći Q faktor označava manji gubitak energije u odnosu na frekvenciju, tj. oscilacije se sporije gase (odumiru).

Dizajner mora odabrati parametre Q\, i f_c\, zavisno od situacije. Naprimjer, Batervortov filtar drugog reda, koji ima najveći flet odziv u propusnom opsegu, ima Q\, koji iznosi \frac{1}{\sqrt{2}}. Imamo 2 parametra za podešavanje, a 4 nepoznate (R_1,R_2,C_1,C_2), obično se uzima jedan otpornik kao odnos sa drugim (tipa R_1=m*R_2). Isto se uradi i kod odabira kondendzatora.

Primjer odabira elemenata[уреди]
Primjer odabira elemenata

Kolo sa slike ima f_c\, od 15.9 kHz i Q\, faktor od 0.5. Prenosna funkcija izgleda ovako:

H(s)=\frac{1}{1+\underbrace{C_2(R_1+R_2)}_{\frac{1}{\omega_c Q} }s+\underbrace{C_1C_2R_1R_2}_{\frac{1}{\omega_c^2}}s^2},

Poslije uvrštavanja (R_1=m*R_2; C_1=n*R_2), dobijamo:

H(s)=\frac{1}{1+\underbrace{RC(m+1)}_{\frac{1}{\omega_c Q} }s+\underbrace{mnR^2C^2}_{\frac{1}{\omega_c^2}}s^2}

Odavde vidimo da se jednostavnom promjenom odnosa R,C ili m,n može postići ista frekvencija i faktor dobrote za bilo koji filtar.

Primjer analize visokopropusnog filtra[уреди]

Konfiguracija visokopropusnog filtra sa frekvencijom odsijecanja fc=72 Hz i faktorom dobrote Q = 0. 5.

Analiziraćemo visokopropusni filtar drugog reda, sa slike. Njegova prenosna funkcija će biti oblika:

 H(s) = \frac{s^2}{s^2+\underbrace{2\pi(\frac{f_c}{Q})}_{ \frac{\omega_c}{Q}}s+\underbrace{(2\pi f_c)^2}_{\omega_c^2}},

Iz jednačina:

 (V_{\text{in}} -V_a){sC_1}=(V_a-V_+){sC_2}+\frac{V_a-V_{\text{out}}}{R_1}
V_+=V_{\text{out}}=\frac{R_2sC_2}{R_2sC_2+1}V_a

Sređivanjem se dobija:

H(s)=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}=\frac{s^2}{s^2+\frac{s}{R_2}(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}) + \frac{1}{R_1R_2C_1C_2} }

Upoređivanjem jednačina se dobija:

 f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\,
R_1=R_2=R,  C_1=C_2=C;
 f_c = \frac{1}{2\pi RC},

Primjer analize filtra propusnika opsega[уреди]

Figure 5: Filatar propusnik opsega

Na slici je prikazan bandpass filtar implementiran u VCVS topologiji. Iako nije ista topologija, metod analize je sličan i lakše ga je objasniti na ovom primjeru. Prenosna funkcija ovog filtra je data izrazom:

H(s) = \frac{\overbrace{\left(1+\frac{R_b}{R_a}\right)}^{G} \frac{s}{R_1 C_1}}{s^2 +
  \underbrace{\left( \frac{1}{R_1 C_1} + \frac{1}{R_2 C_1} + \frac{1}{R_2 C_2} - \frac{R_b}{R_a R_f C_1} \right)}_{\frac{\omega_0}{Q}} s +
  \underbrace{\frac{R_1 + R_f}{R_1 R_f R_2 C_1 C_2}}_{\omega_0^2 = (2\pi f_0)^2}}

Centralna učestanost f_0 (frekvencija gdje odziv ima svoj pik) se dobija izrazom:

 f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{R_f+R_1}{C_1C_2R_1R_2R_f}}

Naponski djeljitelj u kolu sa negativnom povratnom spregom kontroliše gejn. "Unutrašnji gejn" G od operacionog pojačavača je

 G=1+\frac{R_b}{R_a}

dok je gejn pojačavača, na frekvenciji pika, dat izrazom:

 A=\frac{G}{3-G}

Vidimo da se G mora držati ispod 3 da filtar ne bi oscilirao. Filtar se obično optimizuje odabirom R_2=2R_1 i C_1=C_2.

Butterworth filtri višeg reda[уреди]

Red filtra je broj njegovih polova i koji ćemo upotrijebiti, zavisi od praktične potrebe. Aktivan filtar sa N polova ima rolloff rate od N x 6dB/oktavi (N x 20dB/dekadi). Slično, odziv visokopropusnog filtra sa N polova povecava se po N x 6dB/oktavi, sve do cutoff frekvencije. U oba slučaja, f_c je definisano kao:

f_c=\frac{1}{2\pi RC}

Magnituda naponske prenosne funkcije za niskopropusne filtre N-tog reda je:

|T|=\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_c})^{2N}}}
Filtar trećeg reda (slika 6 u daljoj analizi)

Za visokopropusne filtre N-tog reda, magnituda naponske prenosne funkcije je:

|T|=\frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f_c}{f})^{2N}}}

Na slici je prikazan niskopropusni Batervortov filtar trećeg reda (ima 3 pola). Tri otpornika su jednaka a odnos između kapacitivnosti tako što se prvi i drugi izvod prenosne funkcije izjednače sa nulom.

Filtar četvrtog reda

Filtri višeg reda se mogu konstruisati dodavanjem još RC mreža. Međutim, efekat punjenja za svaku dodatnu RC mrežu postaje sve vidljiviji. Ovo se prevazilazi tako što se kaskadno (redno) vežu filtri drugog reda sa OP-om (znači svaki filtar ima po jedan OP u sebi).Zbog niske izlazne otpornosti OP-a, gotovo da nema efekta punjenja između kaskada. Primjer takvog filtra se može vidjeti na slici. Maksimalno ravan odziv se ne dobija prostim vezivanjem na red ovih dvo-polnih filtara. Potrebno je uskladiti kapacitivnosti izjednačavanjem prva tri izvoda funkcije prenosa, sa nulom. Na sličan način se mogu konstruisati i filtri višeg reda. Propusnici i nepropusnici opsega koriste sličnu konfiguraciju.

Primjer rješavanja niskopropusnog aktivnog Butterworth filtra trećeg reda[уреди]

Od raznih topologija koje su nam na raspolaganju za izradu filtra višeg reda, Sallen-Key zahtijeva najmanji broj komponenti pa je takav filtar lakše analizirati (npr. samo jedan OP za 3-polni odziv 18 dB/oct). Slijedi opis analize sklopa sa slike 6.

Posmatramo čvor 3b (gdje je v3 = v3a = v3b). Jednačina za napon čvora se može napisati i ovako: v_{out} = \left ( \frac{R_4 + R_5}{R_5} \right ) \cdot v_3

Označimo: M = 1 + \frac{R_4}{R_5} Zatim: v_3 = \frac{v_{out}}{M}

Naponi za ostale čvorove glase:

\frac{M^{-1}\cdot v_{out} - v_2}{R_3} + s \cdot C_3 \left ( M^{-1} \cdot v_{out} \right ) = 0
\frac{v_1 - v_{in}}{R_1} + s \cdot C_1 \cdot v_1 + \frac{v_1 - v_2}{R_2} = 0
\frac{v_2 - v_1}{R_2} + s \cdot C_2 \cdot \left ( v_2 - v_{out} \right ) + \frac{v_2 - M^{-1} \cdot v_{out}}{R_3} = 0

Prenosna funkcija H(s) = Vout/Vin, sada izgleda H(s)=

\frac
{\frac{M}{R_1 \cdot R_2 \cdot R_3 \cdot C_1 \cdot C_2 \cdot C_3}}
{
\left [
s^3 + \left ( \frac{1}{R_1\cdot C_1} + \frac{1}{R_2\cdot C_1} + \frac{1}{R_2\cdot C_2} + \frac{1 - M}{R_3\cdot C_3} + \frac{1}{R_3\cdot C_2} \right )\cdot s^2
+ \left ( \frac{R_3\cdot C_3 + R_1\cdot C_3 + R_2\cdot C_3 + C_1\cdot R_1 + \left ( 1 - M \right ) \cdot \left ( R_1 + R_2 \right ) \cdot C_2}{R_1 \cdot R_2 \cdot R_3 \cdot C_1 \cdot C_2 \cdot C_3} \right ) \cdot s
+ \frac{1}{R_1 \cdot R_2 \cdot R_3 \cdot C_1 \cdot C_2 \cdot C_3}
\right]
}

Primijetimo da je opšti oblik za H(s) 3-polnog Butterworth niskopropusnog filtra na cutoff frekvenciji od 1 rad/sec:

\frac{K_{ac}}{s^3 + 2s^2 + 2s + 1}

Primijetimo:

\frac{1}{R_1 \cdot R_2 \cdot R_3 \cdot C_1 \cdot C_2 \cdot C_3} = 1
\frac{R_3\cdot C_3 + R_1\cdot C_3 + R_2\cdot C_3 + C_1\cdot R_1 + \left ( 1 - M \right ) \cdot \left ( R_1 + R_2 \right ) \cdot C_2}{R_1 \cdot R_2 \cdot R_3 \cdot C_1 \cdot C_2 \cdot C_3} = 2
\frac{1}{R_1\cdot C_1} + \frac{1}{R_2\cdot C_1} + \frac{1}{R_2\cdot C_2} + \frac{1 - M}{R_3\cdot C_3} + \frac{1}{R_3\cdot C_2} = 2

gdje je Kac = M.

Izaberemo izlazni rast od: Kac = 3 (9,5 dB)

Takođe, izaberemo sljedeće vrijednosti komponenti: C_1= 3000 uF, C_2= 1000uF,  C_3=  1000uF, R_5= 10 kOm

Rješavajuči po R1, R2, R3 i R4 dobijamo:

R1= 816.46 Om, R2= 481.26 Om, R3= 848.33 Om, R4= 10 kOm

Dozvoljeno nam je da promijenimo vrijednosti R1-R4 prema EIA standardu od 1% tolerancije po dekadi:

R1= 825 Om, R2= 487 Om, R3= 845 Om, R4= 20 kOm

I dobijamo: Jednacina 13.jpg

Praktični savjeti:

Za različite vrijednosti rasta mogu se koristiti vrijednosti komponenti sa tabele ispod, ili svaki blok zasebno rješavati za različitu vrijednost Kac. Koristite samo pozitivne pozitivne potkorjene vrijednosti. Programski paket Mathcad(TM) može pomoći pri računu.
M(Kac) 0dB 6dB 12dB 18dB 24dB 30dB 36dB
R1(Ω) 1.292 15.652 1.624 4.305 3.246 1.437 3.234
R2(Ω) 2.093 14.694 4.067 1.750 2.134 16.260 7.198
R3(Ω) 3.698 4.348 15.144 13.276 1.444 42.794 42.950
R4(Ω) 0 10.000 30.000 70.000 15.000 31.000 63.000
R5(Ω) 10.000 10.000 10.000 1.000 1.000 1.000
C1(F) 10-3 10-4 10-3 10-3 10-3 10-3 10-3
C2(F) 10-3 10-4 10-4 10-4 10-4 10-5 10-5
C3(F) 10-4 10-4 10-4 10-4 10-3 10-4 10-4
M(Kac) 42dB 48dB 54dB 60dB 66dB 72dB 78dB
R1(Ω) 1.640 1.242 2.243 1.030 1.137 1.700 6.053
R2(Ω) 13.615 69.066 32.123 185.004 285.242 136.553 47.723
R3(Ω) 4.479 116.556 138.815 5.249 308.473 430.832 346.170
R4(Ω) 127.000 25.500 51.100 102.300 20.470 40.950 81.910
R5(Ω) 1.000 100 100 100 10 10 10
C1(F) 10-3 10-3 10-3 10-3 10-3 10-3 10-3
C2(F) 10-5 10-6 10-6 10-6 10-7 10-7 10-7
C3(F) 10-3 10-4 10-4 10-3 10-4 10-4 10-4
Primjer tropolnog Batervortovog filtra[уреди]

levo

U prikazanoj šemi:

  • 1. Tranzistori Mm6, 7, 8, 9 i 10 su tranzistori za strujno ogledalo u šemi za mješač.
  • 2. Prvi transkonduktor čine Mf1 i 2 (i aktivno opterećenje). On se ponaša kao zaštita između mješača i filtra.
  • 3. Rf1 i Cf1 su dva od uređaja koji se koriste u normalizovanom niskopropusnom filtru (podešenom na frekvenciju i impedansu)
  • 4. Četiri transkonduktorske ćelije (Mf2-10 i odgovarajuća aktivna opterećenja) i kondenzator Cf2 čine aktivni induktor.
  • 5. Rf2 i Cf3 su krajnje komponente normalizovanog niskopropusnog filtra.

Mreža za pomjeranje faze ima centralnu frekvenciju od 5,5 MHz i propusni opseg (gdje je fazni pomak linearan) od oko 1 MHz. To je u suštini paralelna RLC mreža gdje je induktor aktivni induktor.

levo

U gornjoj šemi:

  • 1. Kondenzatori Cps1 i 2 su izabrani tako da je njihova reaktansa jednaka reaktansi Rps1.
  • 2. R je izabrano tako da određeni faktor dobrote Q (i potom širinu propusnog opsega fazno pomjerajuće mreže).
  • 3. Cps3 i aktivni induktor (dvije transkonduktorske ćelije) podešavaju centralnu frekvenciju u mreži za pomjeranje faze.

Kauer topologija[уреди]

Kauer topologija

Kauer topologija koristi pasivne komponente (kondenzatore i kalemove) za implementaciju linearnog analognog filtra. Izraz za k-ti element je dat u formi:

C_k = 2 \sin{ \frac {2k-1}{2n} \pi} ; k = neparno
L_k = 2 \sin{\frac {2k-1}{2n} \pi} ; k = parno

Filtar se može realizovati i sa serijski vezanim induktivitetom na početku, ali se u tom slučaju uzima da je Lk od k neparno a Ck od k parno.

Reference[уреди]

  1. ^ Giovanni Bianchi and Roberto Sorrentino (2007). Electronic filter simulation & design. McGraw-Hill Professional. стр. 17–20. ISBN 9780071494670. 
  2. ^ Donald A Neamen (2009). Microelectronics Circuit Analysis and Design. McGraw-Hill. стр. 1050-1070. ISBN 0073380644, 9780073380643. 

Литература[уреди]