1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Графички приказ првих 15.000 парцијалних сума реда 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ...

1 − 2 + 3 − 4 + · · · је бесконачан низ у математици, који обухвата узастопне природне бројеве са наизменичним знацима. Збир првих $m$ чланова реда може да се напише као:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Овај бесконачни низ дивергира, што значи да редослед његових парцијалних сума, (1, −1, 2, −2, …), не тежи ка крајњим границама. Међутим, средином 18. века, Леонард Ојлер је написао следеће, што је касније окарактерисао као парадоксално:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}\!\,.$

Математичка метода која би објаснила ову једначину, развијена је много касније.

Референце

Литература

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. 
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). „Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series”. The Euler Archive. Приступљено 19. 12. 2012. CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза)
• Ferraro, Giovanni (1999). „The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101—135. doi:10.1007/s004070050036. 
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0. 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 9175377 . 
• Kline, Morris (1983). „Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371. 
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1. 
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition. Hindustan Pub. Corp. LCCN 6817528 . 
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1. CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза)
• Tucciarone, John (1973). „The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925”. Archive for History of Exact Sciences. 10 (1–2): 1—40. doi:10.1007/BF00343405. 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0-387-00836-5. 
• Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.