Сален-Ки филтер

Коло генерално познато као Сален-Ки филтер (енгл. Sallen Key filter), добило је назив по Р. П. Салену и Е. L. Кију, који су 1955. године описали ово коло. Сален-Ки је топологија (активних) електронских филтера са два пола. Понекад се назива и ВЦВС (енгл. Voltage Controlled Voltage Source – напонски контролисан извор напона), јер представља измијењени облик ВЦВС топологије филтера.

Сален-Ки филтер доступан је у неколико верзија и то: пропусник ниских учесталости (енгл. low-pass), пропусник високих учесталости (енгл. high-pass) и пропусник опсега учесталости (енгл. bandpass). Bandpass верзија се не препоручује јер улазни отпорник може тежити некој веома малој вриједности.

Позитивне стране Сален-Ки филтера су:

• једноставност дизајна,
• позитивно појачање;

док су ограничења:

• појачање и фактор доброте Q су међусобно зависни,
• Q мора бити > ½ , док А мора бити > 1.

Уопштена анализа кола Сален-Ки филтера

Коло на слици 1. је уопштена форма кола Сален-Ки филтра. На датом колу биће показана два начина решавања (прорачуна) кола.

Слика 1.

Први начин тражења преносне функције.

Крећемо од Кирхофовог закона за струје (за чвор $V_{x}$):

$I_{1}=I_{2}+I_{4}\qquad ...\qquad (1)$

$I_{1}={\cfrac {V_{in}-V_{x}}{Z_{1}}}$

$I_{2}={\cfrac {V_{x}-V^{+}}{Z_{2}}}$

$I_{4}={\cfrac {V_{x}-V_{our}}{Z_{4}}}$

Када у једначину (1) уврстимо изразе за струје, добијамо:

${\cfrac {V_{in}-V_{x}}{Z_{1}}}={\cfrac {V_{x}-V^{+}}{Z_{2}}}+{\cfrac {V_{x}-V_{out}}{Z_{4}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {V_{in}}{Z_{1}}}-{\frac {V_{x}}{Z_{1}}}={\frac {V_{x}}{Z_{2}}}-{\frac {V^{+}}{Z_{2}}}+{\frac {V_{x}}{Z_{4}}}-{\frac {V_{out}}{Z_{4}}}\qquad \Rightarrow$

${\frac {V_{in}}{Z_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z_{4}}}+{\frac {V^{+}}{Z_{2}}}=V_{x}\left({\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{4}}}\right)\qquad \Rightarrow$

${\frac {V_{in}}{Z_{1}}}+{\frac {V_{out}}{Z_{4}}}+{\frac {\color {Blue}V^{+}}{Z_{2}}}={\color {OliveGreen}V_{x}}\left({\cfrac {Z_{2}Z_{4}+Z_{1}Z_{4}+Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}Z_{4}}}\right)\qquad ...\qquad (2)$

Како је:

$V^{-}={\cfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}V_{out}$,

а како је успостављена негативна повратна спрега, важи да је:

$V^{+}=V^{-}\qquad \Rightarrow \qquad {\color {Blue}V^{+}}=V_{out}{\cfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\qquad ...\qquad (3)$

За чвор $V^{+}$ такође важи:

$V^{+}={\cfrac {Z_{3}}{Z_{2}+Z_{3}}}V_{x},$,

па кад изједначимо двије једначине за $V^{+}$ добијамо:

${\cfrac {Z_{3}}{Z_{2}+Z_{3}}}V_{x}=V_{out}{\cfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}$

${\color {OliveGreen}V_{x}}=V_{out}{\cfrac {R_{3}({Z_{2}+Z_{3}})}{Z_{3}(R_{3}+R_{4})}}\qquad ...\qquad (4)$

Уврштавањем једначина (3) и (4) у једначину (2) добијамо израз у којем ће фигурисати само напони $V_{in}$ и $V_{out}$. На тај начин лако добијамо преносну функцију тј. однос ${\frac {V_{out}}{V_{in}}}$.

Други начин тражења преносне функције.

Други начин решавања кола се своди на примјену методе потенцијала чворова.

За чвор $V_{x}$:

${\color {OliveGreen}V_{x}}\left({\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{4}}}\right)=V_{in}\left({\frac {1}{Z_{1}}}\right)+{\color {Blue}V^{+}}\left({\frac {1}{Z_{2}}}\right)+V_{out}\left({\frac {1}{Z_{4}}}\right)\qquad ...\qquad (5)$

за чвор $V^{+}$:

$V^{+}\left({\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}\right)=V_{x}\left({\frac {1}{Z_{2}}}\right)V^{+}\left({\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}\right)=V_{x}\left({\frac {1}{Z_{2}}}\right)\qquad \Rightarrow$

$V_{x}=V^{+}\left(1+{\cfrac {Z_{2}}{Z_{3}}}\right)\qquad ...\qquad (6)$

за чвор $V^{-}$ :

$V^{-}\left({\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}\right)=V_{out}\left({\frac {1}{R_{4}}}\right)\qquad \Rightarrow \qquad {\color {Blue}V^{-}}=V_{out}\left({\cfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\right)\qquad ...\qquad (7)$

Успостављена је негативна повратна спрега па важи:

$V^{+}=V^{-}\qquad ...\qquad (8)$

Како важи једначина (8), уврштавањем једначине (7) у једначину (6) добијамо:

${\color {OliveGreen}V_{x}}=V_{out}\left({\cfrac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\right)\left({\cfrac {Z_{3}+Z_{2}}{Z_{3}}}\right)\qquad ...\qquad (9).$

Преносну функцију ${\cfrac {V_{out}}{V_{in}}}$ добијамо тако што изразе (7) и (9) уврсримо у једначину (5). Тако смо добили једначину у којој од напона фигуришу само напони $V_{in}$ и $V_{out}$

Типови Сален-Ки филтера

Нископропусни Сален-Ки филтер

Нископропусни Сален-Ки филтер

Да би се спријечила појава преклапања спектра због присуства високо фреквентних сигнала, спектар сигнала се прије дискретизације ограничава пропуштањем кроз аналогни нискофреквентни филтер. Улога филтра је да смањи снагу улазног сигнала. У пракси се сматра да је довољно ако се амплитуда сигнала изнад Никвистове криве учестаности смањи на мање од 1% (-40 dB) амплитуде корисног сигнала.

Функцију преноса Сален Ки филтра пропусника ниских учестаности добијамо на следећи начин:

$V^{+}=V^{-}$

$V^{-}={\frac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\,V_{out}$

$V^{+}={\frac {R_{3}}{1+sC_{2}R_{2}}}\,V_{x}$

${\frac {R_{3}V_{out}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {V_{x}}{1+sC_{2}R_{2}}}\Rightarrow V_{x}={\frac {R_{3}(1+sC_{2}R_{2})}{R_{3}+R_{4}}}\,V{out}\ldots (1)$

${\frac {V_{in}-V_{x}}{R_{1}}}={\frac {V_{x}-V^{+}}{R_{2}}}+sC_{1}(V_{x}-V_{out})$

${\frac {V_{in}}{R_{1}}}=({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+sC_{1})\,V_{x}-{\frac {R_{3}V_{out}}{R_{2}(R_{3}+R_{4})}}-sC_{1}V_{out}\ldots (2)$

Уврштавањем једначине (1) у једначину (2) добијамо преносну функцију система:

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {\frac {R_{3}+R_{4}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{3}}}{s^{2}+s{\frac {1}{C_{1}R_{2}}}+s{\frac {1}{C_{1}R_{1}}}-s{\frac {R_{4}}{C_{2}R_{2}R_{3}}}+{\frac {1}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}}$

Преносна функција Сален Ки филтра пропусника ниских учестаности има и следеци општи облик:

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {K}{-({\frac {f}{f_{c}}})^{2}+{\frac {jf}{Q_{c}f_{c}}}+1}}$

Ова функција преноса зависи од граничне учестаности филтра па разликујемо три могућа случаја:

• кад је $f<<f_{c}$, функција преноса тежи К и сигнал који пролази кроз филтер се множи са фактором појачања К.
• кад је $f=f_{c}$, функција преноса се своди на -јКQ и сигнал који пролази кроз филтер је појачан за фактор Q.
• кад је $f>>f_{c}$, сигнал је ослабљен за коријен фреквенцијског односа.

Гранична учестаност f_c као и фактор доброте Q, се лако одређује упоређујући ова два израза за функцију преноса филтра па имамо да је:

$f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}}$ $Q={\frac {R_{3}{\sqrt {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}{C_{1}R_{1}R_{3}+C_{1}R_{2}R_{3}-C_{2}R_{1}R_{4}}}$

Сален-Ки филтер пропусник високих учесталости

Сален-Ки филтер пропусник високих учесталости

На високим учестаностима C1 и C2 се понашају као затворени прекидачи и сигнал је везан на масу на улазу појачавача, тако да се улазни сигнал не појављује на излазу.

Код Сален Ки филтра пропусника високих уучестаности преносну функцију добијамо слично петходном поступку:

$V^{-}={\frac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\,V_{out}$

$V^{+}={\frac {sC_{2}R_{2}}{1+sC_{2}R_{2}}}\,V_{x}$

$V^{+}=V^{-}$

${\frac {R_{3}V_{out}}{R_{3}+R_{4}}}={\frac {sC_{2}R_{2}V_{x}}{1+sC_{2}R_{2}}}\Rightarrow V_{x}={\frac {R_{3}(1+sC_{2}R_{2})}{sC_{2}R_{2}(R_{3}+R_{4})}}\,V{out}\ldots (1)$

${\frac {V_{in}-V_{x}}{\frac {1}{sC_{1}}}}={\frac {V_{x}-V^{+}}{\frac {1}{sC_{2}}}}+{\frac {V_{x}-V_{out}}{R_{1}}}$

$sC_{1}V_{in}=({\frac {1}{R_{1}}}+sC_{1}+sC_{2})\,V_{x}-{\frac {sC_{2}R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}\,V_{out}-{\frac {1}{R_{1}}}\,V_{out}\ldots (2)$

Уврштавањем једначине (1) у једначину (2) добијамо перносну функцију система:

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {s^{2}{\frac {R_{3}+R_{4}}{R_{3}}}}{s^{2}+s{\frac {1}{C_{1}R_{2}}}+s{\frac {1}{C_{2}R_{2}}}-s{\frac {R_{4}}{C_{1}R_{1}R_{3}}}+{\frac {1}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}}$

Преносна функција Сален Ки филтра пропусника ниских учестаности има и следећи општи облик:

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {K}{-({\frac {f}{f_{c}}})^{2}+{\frac {jf}{Q_{c}f_{c}}}+1}}$

Ова функција преноса зависи од граничне учестаности филтра па разликујемо три могућа случаја:

• кад је $f<<f_{c}$, функција преноса се своди на $-K({\frac {f}{f_{c}}})$.За фреквенције испод фц сигнал је ослабљен за коријен фреквенцијског односа.
• кад је $f=f_{c}$, функција преноса се своди на -јКQ и сигнал који пролази кроз филтер је појачан за фактор Q.
• кад је $f>>f_{c}$, функција преноса тежи К па се сигнал који пролази кроз филтер множи појачањем К.

Гранична учестаност f_c као и фактор доброте Q ,се лако одређује упоређујући ова два израза за функцију преноса филтра па имамо да је:

$f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}}$ $Q={\frac {R_{3}{\sqrt {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}}}}{C_{1}R_{1}R_{3}+C_{2}R_{1}R_{3}-C_{2}R_{1}R_{4}}}$

Види још

• Електронски филтри

Литература

• Wиллиамс, Артхур Б & Таyлор, Фред Ј (1995). Елецтрониц Филтер Десигн Хандбоок. МцГраw-Хилл. ИСБН 978-0-07-070441-1. 
• Зверев, Анатол I. (1969). Хандбоок оф Филтер Сyнтхесис. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 978-0-471-98680-5. 

Спољашње везе

• Texas Instruments - Analysis of the Sallen-Key Architecture
• MAXIM -A Biginners Guide to Filter Topologies Архивирано на сајту Wayback Machine (9. децембар 2009)
• eCircuit Center - Sallen-Key Low-Pass Filter