Телегенова теорема

Телегенова теорема једна је од најмоћнијих теорема када је реч о теорији мреже. Из ње се могу извести многе теорије дистрибуције енергије. Теорему је 1952. објавио Бернард Телеген (енгл. Bernard Tellegen) . У фундаменталном смислу телегенова теорема објашњава просте релације изеђу магнитуда које задовољају Кирхофе законе.

Телегенова теорема се примењује на мноштво мрежних система. Основне претпоставке за системе су очување протока обиминих количина (Кирхофов закон, КЦЛ) и јединственост потенцијала мрежних чворова (Кирхофов закон, КВЛ). Телгенова тоерема даје користне алате за анализу сложених мрежних система, електричних кола, биолошских и метаболичких мрежа, гасовод протока мреже и хемијски процес мрежама.

Теорема

Размотрите произвољну групишемо мрежу чији графикон $G$ има $b$ гране и$n_{t}$ чворове. У електричним мрежама, гране су двополне компоненте и чворови су тачке повезивања. Претпоставите да на сваку грану графикона ми произвољно одредимо потенцијалну разлику гране $W_{k}$ и грану струје $F_{k}$ за $k=1,2,\dots ,b$, и претпоставимо да су мерени на произвољан референци правац. Уколико гране потенцијалне разлике$W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}$ задовољи сва ограничења наметнута од КЦЛ, а ако је грана струје $F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}$ задовољи сва ограничења наметнута од стране КЗВ, онда

$\sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.$

Телегенова теорема је општа; то важи за било коју сатстављену мрежу која садржи елементе, линеарно или нелинеарно, пасивно или активно, времнски промељивим или времнским времеским непроменљивим.Општост је продужена када$W_{k}$ и $F_{k}$ су линеарне операције на скупу потенцијалних разлика и на скупу струја гране (респективно) како линеарне операције не утичу на КБЛ и КЦЛ.На пример, може да буде просечна линеарна операција или Лапласове трансфорамције. Скуп стује може се узроковати у неко друго време од скупа потенцијалних разлика од КБЛ и КЦЛ, и истините су у свим тенуцима времена. Други продужетак је када скуп потенцијалних разлика $W_{k}$из једне мреже $F_{k}$ из потпуно друге мреже, све док се две мреже имају исту топологију, Телегенова теорма остаје тачна. Ово проширење Телегове теореме доводи до многих теорема које се односе на мреже са два приступа

Дефиниције

Требамо да уведемо неке неопходне дефиниције мреже, пружајући компактни доказ.

Учесталост мартице:

$n_{t}\times n_{f}$ matrica $\mathbf {A_{a}}$ se naziva čvor prema grani  $a_{ij}$ 

$a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ako protok }}j{\text{ napušta čvor }}i\\-1,&{\text{ako protok }}j{\text{ napušta čvor }}i\\0,&{\text{ako protok }}j{\text{ ako nije došlo do konflikta sa čvorom }}i\end{cases}}$

Референца или податк чвора $P_{0}$ је уведена да представља окружење и везу са свим динамичким чворовима и терминалима. $(n_{t}-1)\times n_{f}$ матрица $\mathbf {A}$, где ред који садрижи елемент $a_{0j}$ референце чвора$P_{0}$ је елиминисан, се назива смањена учесталост матрица.

Закони одржања (КЦЛ) у облику вектор-матрица:

$\mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0}$

јединствен услов за потенцијал (КВЛ) у облику вектор-матрица:

$\mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w}$

где је $w_{k}$ су апсолутни потенцијали на чворовима на референтном чвору$P_{0}$.

Доказ

Употреба КВЛ:

${\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}$

зато што$\mathbf {AF} =\mathbf {0}$ је КЦЛ.

$\sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0$

Апликације

Мрежни аналози су конструисани за широк спектар физичких система, и показали су се као изузетна корисна у анализирању њихвог динамилког понашања. Класична област примене теорије мреже и Телегенове теореме је теорија електричних кола. То је углавном у употреби за пројектовање филтера апликационих сигнала обраде.

Новија примена Телегенове теореме је у области хемијских и биолошких процеса. Претпоставке за електричне проводнике ( Кирхоф закон ) су генерализовани за динамичке системе који поштују закон неповратне термодинамике. Топологија и структура рекације мрежа могу да се анализирају коришћењем Телегенове теореме.

Друга примена Телегенове теореме је да се утврди стабилност и оптималност комплексних процесних система, као што су хемијска постројења или производним система уља. Телегенова теорема може бити формулисана за проесне системе које користе процес чворова, терминал, проток веезе за производњу или уништење опсежне количине.

Формулација Телегенове теореме за процесне системе:

$\sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{n_{f}}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}$

где је$p_{j}$ су услови за производњу, $t_{j}$ су термиал везе, и${\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}$ су диначки услови за опсежне варијабле складиштења.

Литература

• Басиц Цирцуит Тхеорy бy C.А. Десоер анд Е.С. Кух, МцГраw-Хилл, Неw Yорк, 1969
• "Теллеген'с Тхеорем анд Тхермодyнамиц Инеqуалитиес", Г.Ф. Остер анд C.А. Десоер, Ј. Тхеор. Биол 32 (1971), 219–241
• "Нетwорк Метходс ин Моделс оф Продуцтион", Доналд Wатсон, Нетwоркс, 10 (1980), 1–15

Спољашње везе

• Цирцуит еxампле фор Теллеген'с тхеорем
• Г.Ф. Остер анд C.А. Десоер, Теллеген'с Тхеорем анд Тхермодyнамиц Инеqуалитиес
• Нетwорк тхермодyнамицс