Ojlerovi i Tejt-Brajanovi uglovi

Ojlerove uglove je prvi uveo Leonard Ojler (nem. Leonhard Euler), kako bi opisao rotaciju krutog tela oko nepokretne tačke. Položaj tela pri ovoj rotaciji može se jednoznačno odrediti pomoću tri ugla. Svakoj rotaciji krutog tela odgovara rotacija trodimenzionog Euklidskog prostora, a svaka ovakva rotacija može se predstaviti kao kompozicija tri rotacije oko koordinatnih osa (elementarne rotacije).

Ojlerovi uglovi

Dakle, Ojlerovi uglovi su primer jedne uređene trojke među sobom nezavisnih parametara koji jednoznačno određuju ortogonalne transformacije Dekartovog koordinatnog sistema, naravno, uz podatak o vektoru translacije, koji može biti i nula-vektor. Tri nezavisna parametra, o kojima je reč, odgovaraju trima stepenima slobode kod obrtanja krutog tela oko nepomične tačke.

Sopstvena i svetska rotacija

Sopstvena rotacija

Sopstvena rotacija je elementarna rotacija koja se javlja u pravcima rotirajućeg koordinatnog sistema $XYZ$, koji menja svoju orijentaciju nakon svake elementarne rotacije. Pozicija pokretnih osa može biti dostignuta korišćenjem tri rotacije sa uglovima $\psi ,\theta ,\varphi$. Tako se sistem $XYZ$ rotira dok je sistem $xyz$ fiksiran. Neka se na početku sistem $XYZ$ poklapa sa sistemom $xyz$ i neka se rotacije vrše oko pokretnih osa sistema $XYZ$ na sledeći način:

• rotacija sistema $XYZ$ oko $Z$-ose za ugao $\psi$. $X$-osa sada leži na liniji čvorova;
• rotacija sistema $XYZ$ sada oko rotirane $X$-ose za ugao $\theta$. $Z$-osa sada prelazi u svoju konačnu orijentaciju, a $X$-osa ostaje linija čvorova;
• rotacija sistema $XYZ$ treći put oko nove Z-ose sa ugao $\varphi$.

Svetska rotacija

Svetska rotacija je elementarna rotacija koja se javlja u pravcima fiksiranog koordinatnog sistema $xyz$. Neka se na početku sistemi $XYZ$ i $xyz$ poklapaju, i neka se rotacije vrše oko fiksiranih osa sistema $xyz$ na sledeći način:

• rotacija sistema $XYZ$ oko $z$-ose za ugao $\varphi$. $X$-osa sada gradi ugao $\varphi$ sa $x$-osom;
• rotacija sistema $XYZ$ ponovo oko $x$-ose za ugao $\theta$. $Z$-osa sada gradi ugao $\theta$ sa $z$-osom;
• rotacija sistema $XYZ$ treći put oko $z$-ose za ugao $\psi$.

Kompozicija sopstvenih rotacija, nazvana $(YXZ)$ može biti predstavljena kao proizvod matrica $R(Y,\theta _{1})\cdot R(X,\theta _{2})\cdot R(Z,\theta _{3})$. Uglove rotacija u sledećim izrazima označimo sa $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$. Oni se odnose na uglove svake od ove tri rotacije redosledom kojim se primenjuju.

Proizvod sledeće tri matrice određuje jednu rotaciju koja odgovara kompoziciji tri elementarne rotacije:

$R(Y,\theta _{1})={\begin{bmatrix}cos\theta _{1}&0&sin\theta _{1}\\0&1&0\\-sin\theta _{1}&0&cos\theta _{1}\end{bmatrix}},R(X,\theta _{2})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\theta _{2}&-sin\theta _{2}\\0&sin\theta _{2}&cos\theta _{2}\end{bmatrix}},R(Z,\theta _{3})={\begin{bmatrix}cos\theta _{3}&-sin\theta _{3}&0\\sin\theta _{3}&cos\theta _{3}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Proizvod $R(Y,\theta _{1})\cdot R(X,\theta _{2})\cdot R(Z,\theta _{3})$ je dakle rotacija koja odgovara trima Ojlerovim uglovima.

Ojlerove teoreme

Prva Ojlerova teorema

Svako kretanje $g$ prostora $\mathbb {E} ^{3}$ koje fiksira proizvoljnu tačku $O'$ je rotacija oko neke orijentisane prave $p$ koja sadrži $O'$ za ugao $\varphi \in [0,2\pi )$.

Ova teorema tvrdi da je svako kretanje trodimenzionog prostora koje fiksira neku tačku rotacija oko neke prave za neki ugao. Specijalno, svako linearno kretanje, tj. ono koje fiksira koordinatni početak $O$, je rotacija oko neke prave kroz tačku $O$.

Preslikavanje $f$ = $T_{\vec {O'O}}$ ◦ $g$ ◦ $T_{\vec {OO'}}$ je kretanje koje fiksira koordinatni početak. Dakle, $f$ je kretanje koje fiksira $O$, pa je ono linearno preslikavanje sa matricom $A$ za koju važi $A^{T}A=E$, $detA=1$. Za sopstvenu vrednost $\lambda$ (${\vec {v}}$ je odgovarajući sopstveni vektor) važi:

$|{\vec {v}}|$ = $|f({\vec {v}})|$ = $|A{\vec {v}}|$ = $|{\lambda }{\vec {v}}|$= $|{\lambda }||{\vec {v}}|$

Ako je sopstvena vrednost realna, ona je $\lambda =\pm 1$ jer kretanje čuva dužinu vektora. Ako je kompleksna, njena kompleksna norma $|\lambda |$ je jednaka 1, pa su $\lambda =cos\varphi +i*sin\varphi$ i ${\bar {\lambda }}=cos\varphi -i*sin\varphi$ sopstvene vrednosti ( $\lambda$ i ${\bar {\lambda }}$ su konjugovane kompleksne vrednosti). Matrica $A$ je formata 3x3, pa ima 3 sopstvene vrednosti od kojih je bar jedna realna. Kako je proizvod sopstvenih vrednosti determinanta matrice $A$, tj. $detA=1$, postoje 3 slučaja:

• $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=1$ : preslikavanje $f$ je tada identitet;
• $\lambda _{1}=\lambda _{2}=-1,\lambda _{3}=1$ :preslikavanje $f$ je rotacija za ugao $\pi$ oko sopstvenog vektora ${\vec {p}}$ koji odgovara vrednosti $\lambda _{3}$
• ${\bar {\lambda _{2}}}=\lambda _{1}=cos\varphi +i*sin\varphi ,\lambda _{3}=1$ :preslikavanje $f$ je rotacija za ugao $\varphi \in [0,2\pi )$ oko sopstvenog ${\vec {p}}$ vektora koji odgovara vrednostima $\lambda _{3}$;

U sva tri slučaja izometrija $f$ predstavlja rotaciju oko orijentisane prave $p_{0}$ čiji je vektor sopstveni vektor ${\vec {p}}$, za neki ugao $\varphi \in [0,2\pi )$.

Kada činjenice komponujemo sa translacijom, dobijamo dva efektivna načina da objekat dovedemo u proizvoljan položaj u prostoru, što ima ogromne primene, ne samo u računarskoj grafici, već i u industriji, robotici...

Druga Ojlerova teorema

Svako kretanje f prostora $\mathbb {E} ^{3}$ koje čuva koordinatni početak, može se predstaviti kao kompozicije tri sopstvene rotacije oko koordinatnih osa:

   $f=R_{k}(\psi )\circ R_{i_{1}}(\theta )\circ R_{k'}(\varphi )$

gde su $\varphi ,\psi ,\theta$ tzv. Ojlerovi ili Tejt-Brajanovi uglovi.

Geometrijska interpretacija

Ojlerovi uglovi

Sa sistema jediničnih vektora ${\vec {i}}$,${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ možemo preći na sistem jediničnih vektora ${\vec {i}}'$, ${\vec {j}}'$, ${\vec {k}}'$ posredstvom ove tri uzastopne rotacije:

1. prvom rotacijom triedra ${\vec {i}}$,${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ oko vektora ${\vec {k}}$ za ugao $\psi$, meren u smeru suprotnom od kretanja kazaljki na satu, posmatrano iz pravca i smera vektora ${\vec {k}}$, pri čemu ćemo dobiti sistem jediničnih vektora ${\vec {i}}_{1}$, ${\vec {j}}_{1}$, ${\vec {k}}$, takođe desne orijentacije;
2. drugom rotacijom dobijenog triedra ${\vec {i}}_{1}$, ${\vec {j}}_{1}$, ${\vec {k}}$ oko vektora ${\vec {i}}_{1}$ za ugao $\theta$ meren u smeru suprotnom od kretanja kazaljki na satu, posmatrano iz pravca i smera vektora ${\vec {i}}_{1}$, pri čemu ćemo dobiti triedar jediničnih vektora ${\vec {i}}_{1}$, ${\vec {j}}_{2}$, ${\vec {k}}'$, takođe desne orijentacije;
3. trećom rotacijom dobijenog triedra ${\vec {i}}_{1}$, ${\vec {j}}_{2}$, ${\vec {k}}'$ oko vektora ${\vec {k}}'$ za ugao $\varphi$, meren u smeru suprotnom od kretanja kazaljki na satu, posmatrano iz pravca i smera vektora ${\vec {k}}'$, pri čemu ćemo upravo dobiti sistem jediničnih vektora ${\vec {i}}'$, ${\vec {j}}'$, ${\vec {k}}'$.

Kao što se vidi iz slike, sa $\psi ,\theta ,\varphi$ označeni su respektivno ovi uglovi: $\psi$=(${\vec {i}}$, ${\vec {i}}_{1}$), $\theta$ =(${\vec {k}}$, ${\vec {k}}'$) i $\varphi$(${\vec {i}}_{1}$, ${\vec {i}}'$) (u astronomiji se ti uglovi redom zovu precesija, čista rotacija i nutacija). Uglovi $\psi ,\theta ,\varphi$ zovu se Ojlerovi uglovi i jednoznačno određuju transformaciju triedra ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ na triedar ${\vec {i}}'$, ${\vec {j}}'$, ${\vec {k}}'$, tj koordinatnog sistema O_xyz na koordinatni sistem $O_{x'y'z'}$, i obrnuto.

Ako tačka M ima u sistemu $O_{xyz}$ koordinate $(x,y,z)$, a u sistemu $O_{x'y'z'}$ koordinate $(x',y',z')$ tada u (1) odnosno (2) treba samo umesto vektora ${\vec {i}}'$, ${\vec {j}}'$, ${\vec {k}}'$ i ${\vec {i}}$, ${\vec {j}}$, ${\vec {k}}$ staviti $x',y',z'$ i $x,y,z$. Ojlerovi uglovi su primer jedne trojke među sobom nezavisnih parametara koji jednoznačno određuju ortogonalne transformacije Dekartovih koordinatnih sistema, to su transformacije koje fiksiraju koordinatni početak. Tri nezavisna parametra, o kojima je reč, odgovaraju trima stepenima slobode kod obrtanja krutog tela oko nepomične tačke. Otuda i značaj Ojlerovih uglova u mehanici.

Tejt-Brajanovi uglovi

Uobičajeno je da se uglovi $\psi ,\theta ,\varphi$ nazivaju Ojlerovi uglovi ako se vrši rotacija oko iste sopstvene ose dva puta, a Tejt-Brajanovi uglovi, ako su sopstvene rotacije oko različitih osa. Tejt-Brajnova konvencija je više od veka u upotrebi u aeronautici. Uglovi $\psi ,\theta ,\varphi$ predstavljaju:

$\psi$-ugao skretanja

$\theta$-ugao propinjanja

Tejt-Brajanovi uglovi

$\varphi$-ugao valjanja

Tejt-Brajanovi uglovi predstavljaju jednu od konvencija Ojlerovih uglova.

Analitičko određivanje Tejt-Brajanovih uglova:

U praktičnim primenama se postavlja pitanje: kako za ortogonalnu matricu $A=(a_{ij})$ odrediti uglove $\psi ,\theta ,\varphi$ gde je $\psi ,\varphi \in [0,{\frac {\pi }{2}})$, a $\theta \in ({\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$?

Kolone $[{\vec {f}}_{1}]_{e}=(a_{11},a_{21},a_{31})$, $[{\vec {f}}_{2}]_{e}=(a_{12},a_{22},a_{32})$, $[{\vec {f}}_{3}]_{e}=(a_{13},a_{23},a_{33})$ matrice $A$, su koordinate slika baznih vektora svetskog koordinatnog repera, pri kretanju $f$. Te kolone su takođe i bazni vektori sopstvenog repera $O_{x'y'z'}$. Vidimo da je $\psi$ ugao između ose $Ox$ i projekcije $n^{\bot }$ vektora ${\vec {f}}_{1}$ ose $O_{x'}$ na ravan $Oxy$ . Ta projekcija ima koordinate ($a_{11}$, $a_{21}$, 0), pa je

$(cos\psi ,sin\psi )={\frac {(a_{11},a_{21})}{\sqrt {a_{11}^{2}+{a_{21}^{2}}}}}$ = $\left({\frac {a_{11}}{\sqrt {1-a_{31}^{2}}}},{\frac {a_{21}}{\sqrt {1-a_{31}^{2}}}}\right)$.

Takođe ${\frac {\pi }{2-\theta }}$ je ugao između vektora ${\vec {f}}_{1}$ ose $O_{x'}$ i negativnog dela ose $Oz$ pa je zato

$sin\theta =-a_{31},cos\theta ={\sqrt {1-a_{31}^{2}}}$

Da bismo odredili ugao $\varphi$, primetimo da je vektor ose $O_{y1}$ (linije čvorova) jednak ${\vec {n}}=(-sin\varphi ,cos\varphi ,0)$. Ugao $\varphi$ je ugao između linije čvorova i vektora ${\vec {f}}_{2}$ ose $O_{y'}$, pa je, koristeći prethodne formule

$cos\theta ={\vec {n}}\circ {\vec {f}}_{2}={\frac {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}{\sqrt {1-a_{31}^{2}}}}={\frac {a_{33}}{\sqrt {1-a_{31}^{2}}}}$

Poslednja jednakost važi zato što je $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ treća koordinata vektorskog proizvoda ${\vec {f}}_{1}\times {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{3}$. Sinus ugla $\varphi$ dobijamo sličnim računom

$sin\varphi =-cos(\varphi +{\frac {\pi }{2}})=-{\vec {n}}\circ {\vec {f}}_{3}=...={\frac {a_{23}}{\sqrt {1-a_{31}^{2}}}}$

Praktična primena

Žiroskop je uređaj, nalik čigri, koji koristi zakon o održanju momenta rotacije da bi registrovao promenu položaja objekta. Naime, žiroskop se montira unutar tri međusobno ugnježdena prstena koji nezavisno mogu da rotiraju. Kako god mi promenili položaj tog sistema žiroskop će se jednako vrteti, a prstenovi će menjati položaj i time meriti Ojlerove uglove.

Žiroskop

Kada se takav žiroskop postavi unutar letelice, pilot u svakom trenutku zna u kom se položaju nalazi avion. Žiroskopi se danas još koriste u robotici, sigurnosnim sistemima u automobilima, za bespilotne letelice, sisteme stabilizacije u fotoaparatima… Elektronske verzije žiroskopa su veličine nekoliko milimetara i možemo ih naći u mobilnim telefonima.

Ojlerovi uglovi se takođe koriste u mehanici leta artiljerijskih raketa, robotici.

Literatura

• T. Šukilović, S. Vukmirović, Geometrija ѕa informatičare, Matematički fakultet. . Beograd. 2015. ISBN 978-86-7589-106-2. 
• Z. P. Mamuzic, Deternimante vektori matrice analitička geometrija za studente tehničkih fakulteta, Beograd 1981.