База (линеарна алгебра)

Из Википедије, слободне енциклопедије

База неког векторског простора V над пољем K је уређени скуп међусобно линеарно независних и не-нула вектора e = {e1, e2, ..., en}, којима се, уз множење скаларима, једнозначно може представити сваки други вектор a из V:

a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K

Одавде следи да је овакав скуп такође и минималан, јер ако би се, на пример ei могло изразити као αeј + βek, то би значило да се вектор ei може изразити на још један начин, што више није једнозначно.

Како се у векторском простору димензије n може представити n линеарно независних вектора, његову базу мора чинити најмање n вектора, што заједно са закључком горе даје да база n-димензионог векторског простора V има тачно n вектора.

Канонска база[уреди]

Једна од база n-димензионог векторског простора V се може дефинисати на следећи начин:

e: \{e_i = (\underbrace{0,\dots, 0 }_{i-1},1,\underbrace{0,\dots, 0 }_{n-i}),  \;\; i=1,\dots, n  \}

Ова база се назива канонском базом тог простора, а по дефиницији је и ортонормирана.

Види још[уреди]