Ортонормирана база

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ортонормирана база је база e неког векторског простора V чији су вектори (e1, e2, ..., en) међусобно нормални и јединични.

\begin{matrix}
 e = (e_1, e_2, \dots, e_n), & |e_i| = 1, e_j e_k = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\
 & i,j,k = 1, \dots, n, \; j \neq k \\
\end{matrix}

Пример ортонормиране базе је тзв. канонска база.

Ортонормирање базе[уреди]

Свака база v = (v1, v2, ..., vn) неког векторског простора V се може ортогонормирати на базу e = (e1, e2, ..., en). Поступак се дели на два дела:

  • Ортогонализација вектора базе v тј. формирање нове базе w чији су вектори добијени линеарним комбиновањем вектора из v али су и међусобно нормални.
  • Нормирање вектора из w што даје веткоре ортонормиране базе e.

Ортогонализација[уреди]

Прво се узме произвољан вектор из v, рецимо v1. Први вектор из w му може бити једнак, јер нема других вектора на које треба да буде нормалан:

w_1 = v_1

У следећем кораку се узима један од још неупотребљених вектора из v, рецимо v2:

w_2 = v_2 - \frac{v_2 w_1}{w_1 w_1} w_1

Следећи вектор узима у обзир још један неупотребљен вектор из v, али треба бити и нормалан на претходна два:

w_3 = v_3 - \frac{v_3 w_1}{w_1 w_1} w_1 - \frac{v_3 w_2}{w_2 w_2} w_2

Поступак се понавља док се не употребе сви вектори из v.

w_i = v_i - \sum_{j=1}^{i-1}{\frac{v_j w_j}{w_j w_j}w_j}

Нормирање[уреди]

Сви вектори из w се деле са својим интензитетима. Тако се добијају вектори ортонормиране базе e:

e_i = \frac{w_i}{|w_i|}, \; i = 1, \dots, n