Бернулијеви полиноми

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи облик

$B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_{n-k} x^k$, где су ${n \choose k}$ — биномни коефицијенти, а $\ B_k$ — Бернулијеви бројеви.

Или

$B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k {m \choose k} (x+k)^n.$

Генерирајућа функција и чланови

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

$\ B_0(x)=1,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2},$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}x,$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.$

Својства

$\ B_n(0)=B_n$.

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

$t^{2}\ e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n$.

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}$.

Из чега се добија

$\frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}$, а онда је

$\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x)$.

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

$\ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt$.

$\int_0^1B_n(x)dx=1$ (када је $n>0$ )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

$\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}.$

Интеграли

$\int_a^x B_n(t)\,dt = \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

Definite integrals

$\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = (-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad \mbox { for } m,n \ge 1$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720