Лагерови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лагерови полиноми L_n(x) представљају решења Лагерове диференцијалне једначине:


x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

Придружени Лагерови полиноми L_n^{(\alpha)}(x) представљају решења од:


x\,y'' + (\alpha+1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

По први пут дефинисао их је француски математичар Едмон Лагер. Користе се и у квантној механици као решења радијалнога дела Шредингерове једначине једноелектронскога атома.

Првих шест Лагерових полинома

Родригезова формула и полиноми[уреди]

Лагерови полиноми обично се означавају као L0L1, ..., а полиномни низ може да се дефинише Родригезовом формулом:



L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).

Првих неколико полинома:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,

Генерирајућа функција Лагерових полинома је:

\frac{e^{-xt/(1-t)}}{1-t} = \sum_{n=0}^\infty L_n(x) t^n\,.

Рекурзивне релације[уреди]

Едмон Лагер

Лагерови полиноми могу да се дефинишу рекурзивно уз помоћ прва два полинома која су:

L_0(x) = 1\,
L_1(x) = 1 - x\,

а рекурзивна релација је:

(n+1) \, L_{n+1}(x) = (2\,n+1-x)\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)

Рекурзивна релација за изводе је:

x\,L_n'(x) = n\,L_n(x) - n\,L_{n-1}(x)

Генерализирани Лагерови полиноми[уреди]

Генерализирани Лагерови полиноми или придружени Лагерови полиноми L_n^{(\alpha)}(x) представљају решења диференцијалне једаначине:


x\,y'' + (\alpha +1 - x)\,y' + n\,y = 0

Родригезова формула за генерализиране полиноме је:

L_n^{(\alpha)}(x)=

{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).

Веза обичних и генерализираних Лагерових полинома је:

L_n^k(x) = (-1)^k \, \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^k} \, L_{n+k}(x).

Обични Лагерови полиноми еквивалентни су генерализиранима полиномима ако је α = 0:

L^{(0)}_n(x)=L_n(x).

Неколико првих генерализираних Легерових полинома:

L_0^k(x) = 1
L_1^k(x) = -x + k + 1
L_2^k(x) = \frac{1}{2}\,\left[x^2 - 2\,(k+2)\,x + (k+1)(k+2)\right]
L_3^k(x) = \frac{1}{6}\,\left[-x^3 +3\,(k+3)\,x^2 - 3\,(k+2)\,(k+3)\,x + (k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]

Ортогоналност[уреди]

Придружени Лагерови полиноми ортогонални су у односу на тежинску функцију x^\alpha e^{-x}:

\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m},

Веза са Ермитовим полиномима[уреди]

Генерализирани лагерови полиноми повезани су са Ермитовим полиномима следећим релацијама:

H_{2n}(x) = (-1)^n 2^{2n} n! L_n^{(-1/2)} (x^2)

и

H_{2n+1}(x) = (-1)^n 2^{2n+1} n! x L_n^{(1/2)} (x^2)

где су H_n(x) Ермитови полиноми.

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720