Ермитови полиноми

Ермитови полиноми представљају ортогонални низ полинома. Именовани су према Шарлу Ермиту, који их је изучавао 1864. године. Полиноми су од значаја у теорији вероватноће, комбинаторици и нумеричкој анализи. У физици Ермитови полиноми представљају својствена стања квантнога хармоничкога осцилатора.

Дефиниција

Постоје два стандардна начина нормализације Ермитових полинома:

$(1)\ \ {\mathit{He}}_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!$

("пробабилистички' Ермитови полиноми"), и

$(2)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=e^{x^2/2}\bigg (x-\frac{d}{dx} \bigg )^n e^{-x^2/2}\,\!$

("физикални' Ермитови полиноми"). Те две дефиниције нису потпуно еквивалентне, па постоји трансформација између две дефиниције:

$H_n(x)=2^{n/2}{\mathit{He}}_n(\sqrt{2}\,x), \qquad {\mathit{He}}_n(x)=2^{-\frac n 2}H_n\left(\frac x\sqrt{2}\right).$

Првих шест пробабилистичких Ермитових полинома He_n(x).

Првих једанаест полинома је:

${\mathit{He}}_0(x)=1\,$

${\mathit{He}}_1(x)=x\,$

${\mathit{He}}_2(x)=x^2-1\,$

${\mathit{He}}_3(x)=x^3-3x\,$

${\mathit{He}}_4(x)=x^4-6x^2+3\,$

${\mathit{He}}_5(x)=x^5-10x^3+15x\,$

${\mathit{He}}_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,$

${\mathit{He}}_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,$

${\mathit{He}}_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,$

${\mathit{He}}_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,$

${\mathit{He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,$

Првих шест физикалних Ермитеових полинома H_n(x).

Првих неколико физикалних Ермитових полинома:

$H_0(x)=1\,$

$H_1(x)=2x\,$

$H_2(x)=4x^2-2\,$

$H_3(x)=8x^3-12x\,$

$H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,$

$H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,$

$H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,$

$H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,$

$H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,$

$H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,$

Ермитов полином може да се представи и матрицом:

$H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc} x & n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x & n-2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x & n-3 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right |$

Ортогоналност

$H_n(x)$ и $He_n(x)$ представљају полиноме n-тога-степена за n = 0, 1, 2, 3, .... Ти полиноми су ортогонални у односу на тежинску функцију (меру):

$w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!$   (He)

или

$w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!$   (H)

тј. ми имамо:

$\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0$

када је m ≠ n. Даље,

$\int_{-\infty}^\infty {\mathit{He}}_m(x) {\mathit{He}}_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi} n! \delta_{nm}$   (пробабилистички)

или

$\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \sqrt{ \pi} 2^n n! \delta_{nm}$   (физикална).

Пробабилистички полиноми су дакле ортогонални у односу на стандардну нормалну функцију густине вероватноће.

Рекурзивне релације

Ермитови полиноми такође задовољавају следеће рекурзије:

${\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-{\mathit{He}}_n'(x).\,\!$ (пробабилистичка)

$H_{n+1}(x)=2 xH_n(x)-H_n'(x).\,\!$ (физикална)

Ермитови полиноми представљају Апелов низ, тј. они задовољавају следеће једначине

${\mathit{He}}_n'(x)=n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\!$ (пробабилистичка)

$H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\!$ (физикална)

или еквивалентно,

${\mathit{He}}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k} {\mathit{He}}_{k}(y)$ (пробабилистичка)

$H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}H_{k}(x) (2y)^{(n-k)}= 2^{-\frac n 2}\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} H_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) H_k\left(y\sqrt 2\right).$ (физикална)

Ермитови полиноми задовољавају такође следеће рекурентне релације:

${\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\!$ (пробабилистичка)

$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).\,\!$ (физикална)

Те последње релације често се користе да би се помоћу почетних полинома израчунали остали.

Генерирајуће функције

Ермитови полиноми могу да се представе и експоненцијалном генерирајућом функцијом:

$\exp (xt-t^2/2) = \sum_{n=0}^\infty {\mathit{He}}_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\!$ (пробабилистичка)

$\exp (2xt-t^2) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\!$ (физикална).

Експлицитни израз

Физикални Ермитови полиноми могу да се напишу експлицитно као:

$H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell}$

за парне n и

$H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1}$

за непарне n. Те две једначине могу да се комбинирају у једну:

$H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}.$

Ермитова диференцијална једначина

Пробабилистички Ермитови полиноми представљају решење диференцијалне једначине:

$(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0$

где је λ константа, са граничним условом да u треба да буде полином ограничен у бесконачности. Решење једначине са граничним условом је u(x) = H_λ(x). Диференцијална једначина може и да се напише у облику:

$L[u] = u'' - x u' = -\lambda u$

Таква једначина назива се Ермитова једначина, иако се тај назив користи и за блиско повезану једначину:

$u'' - 2xu'=-2\lambda u$

чија решења су физиклани Ермитови полиноми.

Ермитова функција

Ермитове функције могу да се дефинишу помоћу физикалних полинома::

$\psi_n(x) = (2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2} \mathrm{e}^{-x^2/2} H_n(x) = (-1)^n(2^n n! \sqrt{\pi})^{-1/2} \mathrm{e}^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} \mathrm{e}^{-x^2}$

Пошто те функције садрже квадратни корен функције тежине оне су ортонормалне:

$\int_{-\infty}^\infty \psi_n(x)\psi_m(x)\, \mathrm{d}x = \delta_{n\,m}\,$

Ермитове функције задовољавају диференцијалну једначину:

$\psi_n''(x) + (2n + 1 - x^2) \psi_n(x) = 0\,.$

Та једначина еквивалентна је Шредингеровој једначини за хармонијски осцилатор у квантној механици, тако да су те функције својствене функције.

Ермитеове функције 0 (црна), 1 (црвена), 2 (плава), 3 (жута), 4 (зелена), and 5 (љубичаста).

Ермитове функције задовољавају следеће рекурзионе релације:

$\psi_n'(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) - \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)$

као и

$x\;\psi_n(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) + \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720