Уређени пар

Из Википедије, слободне енциклопедије

Уређени пар представља пар елемената било којег скупа, у којем је битан распоред, тј. у коме се разликују први и други елемент. Први елемент називамо „првом координатом“, а други „другом координатом“. Уобичајена нотација за уређени пар са првом координатом a и другом координатом b је (a, b).

Математичка дефиниција[уреди]

У математици, у теорији скупова, уређени пар елемената a и b представља скуп \{\{a\}, \{a,b\}\} (дефиницију је предложио пољски математичар Kuratowski).

Особине[уреди]

Нека су (a_{1}, b_{1}) и (a_{2}, b_{2}) два уређена пара. Ова два уређена пара су једнака ако и само ако је:


a_{1} = a_{2} \land b_{1} = b_{2}

Декартов производ[уреди]

На основу дефиниције уређеног пара се дефинише и Декартов производ скупова, на сљедећи начин:


A x B = \{ (a,b) | a \in A \land b \in B \}

Са оваквом дефиницијом, потребно је одредити који скупови могу бити Декартови производи одговарајућих скупова. Наиме, ако a \in A, онда скуп који садржи a је подскуп од скупа A, тј. \{a\} \subseteq A, па припада скупу свих подскупова од A, тј. \{a\} \in \mathcal{P}(A), а овај је подскуп од \mathcal{P}(A \cup B).

На сличан начин, ако a и b припадају редом A и B, онда скуп од a и b припада унији скупова A и B, тј. \{a, b\} \subseteq A \cup B, одакле поново слиједи да \{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B).

Дакле, ако и скуп \{a\} и скуп \{a, b\} припадају скупу свих подскупова уније A и B, тј. ако {a}, {a, b} \in \mathcal{P}(A \cup B), онда и скуп који њих садржи, \{\{a\}, \{a, b\}\} припада \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)), па дефиниција Декартовог производа на основу уређених парова гласи:


A x B = \{ x \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) | \exists a \exists b (a \in A \land b \in B \land x=(a, b)) \}

Уређена n-торка[уреди]

По дефиницији, уређена тројка (a, b, c) је исто што и уређени пар ((a, b), c). На исти начин се дефинише и уређена четворка ((a, b, c, d) = ((a, b, c), d)) = (((a, b), c), d)) итд.

Означавање[уреди]

Означавање са отвореним заградама, нпр. (a, b), може да створи забуну, јер се иста нотација користи за отворени интервал на реалној бројевној правој. Алтернативна нотација која се код нас ретко користи је \langle a,b \rangle.