Френелови интеграли

Из Википедије, слободне енциклопедије

Френелови интеграли S(x) и C(x) представљају две математичке трансцедентне функције, које је Огистен Жан Френел користио у оптици. Користе се да опишу Френелову дифракцију, а дефинисане су следећим интегралима: S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt,\quad C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt.

Fresnel Integrals (Unnormalised).svg

Истовременим параметарским цртежом оба интеграла добија се Ојлерова спирала.

Дефиниција[уреди]

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.

Неки аутори користе \frac{\pi}{2}t^2 као аргумент у интегралу приликом дефиниције S(x) и C(x). Тада се интеграли множе са \sqrt{\frac{2}{\pi}}, а аргумент x са (\frac{\pi}{2})^{1/2}.

Ојлерова спирала[уреди]

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала позната је и као Корнуова спирала или клотоида, а добија се параметарским приказом S(t) према C(t). Помоћу дефиниција Френелових интеграла за dx и dy добија се:

 dx = C'(t)dt = \cos(t^2) dt \,
 dy = S'(t)dt = \sin(t^2) dt \,

Дужина спирале мерена из исходишта може да се представи као:

L = \int_0^t {\sqrt {dx^2 + dy^2}} = \int_0^t{dt} = t

Својства[уреди]

  • S(x) и C(x) су непарне функције
  • Френелови интеграли могу да се изразе преко \operatorname{erf}(x) функција грешке:
S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left(\sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)
C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left(\sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).
  • Интеграли не могу да се израчунају у затвореној форми помоћу елементарних функција, сем у специјалним случајевима. Како x тежи бесконачности добија се:
\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

Генерализација[уреди]

\int_0^\infty\sin(x^a)\ dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\sin(\frac{\pi}{2a})}{a}

Литература[уреди]