Функција грешке

Из Википедије, слободне енциклопедије
График функције грешке

У математици, функција грешке (такође позната и као Гаусова функција грешке) је неелементарна функција која се јавља у вероватноћи, статистици, и парцијалним диференцијалним једначинама. Дефинише се као:

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Комплементарна функција грешке, која се означава као erfc, је дефинисана преко функције грешке:

\mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt.

Комплексна функција грешке, означена као w(x), (позната и као Фадеева функција) је такође дефинисана преко функције грешке:

w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix).\,\!

Својства[уреди]

Функција грешке је непарна функција:

\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x).

За сваки комплексан број x важи

\operatorname{erf} (x^{*}) = \operatorname{erf}(x)^{*}

где је x^* конјуговано комплексна вредност x.

Интеграл се не може израчунати у затвореној форми елементарних функција, али развојем подинтегралног дела у Тејлоров ред, добија се Тејлоров ред функције грешке као:

\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

који важи за сваки реалан број x, и такође за целу комплексну раван. (Ово произилази из развоја Тејлоровог реда e^{-x^2}, што је \sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}, који потом интегралимо члан по члан.)

За итеративно израчунавање горњег реда, следећа алтернативна формулација може бити од користи:

\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}

јер \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} претвара чинилац из i-тог члана у (i+1). члан (под претпоставком да са "x" означавамо први члан).

Функција грешке у бесконачности има вредност 1 (погледати Гаусов интеграл).

Извод функције грешке следи директно из њене дефиниције:

\frac{d}{dx}\,\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.

Инверзна функција грешке има ред

\operatorname{erf}^{-1}(x)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!

где је c0 = 1, а

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.

Тако добијамо развој реда (приметити да су поништени заједнички чиниоци из имениоца и бројиоца):

\operatorname{erf}^{-1}(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\cdots\right ). \,\!

Вредност функције грешке у плус/минус бесконачно је једнака плус/минус 1.

Примене[уреди]

Када се резултати више мерења опишу нормалном расподелом са стандардном девијацијом \sigma и очекиваном вредношћу 0, онда је  \operatorname{erf}\,\left(\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\,\right) вероватноћа да грешка једног мерења лежи између −a и +a.

У дигиталним оптичким телекомуникацијама, однос бит-грешка се изражава као:

 \mathrm{BER} = 0.5\,\operatorname{erfc}\left(\frac{\mu_1 - \mu_2}{\sqrt{2}\left(\sigma_1 + \sigma_2\right)} \right).

Асимптототски развој[уреди]

Корисни асимптотски развој комплементарне функције грешке (а самим тим и функције грешке) за велико x је

\mathrm{erfc}(x) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,

Овај ред дивергира за свако коначно x. Практично, само првих пар чланова овог развоја је потребно да се израчуна добра апроксимација erfc(x), док Тејлоров ред дат изнад конвергира јако споро.

Још једна апроксимација је дата са

(\operatorname{erf}(x))^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)

где је

 a = \frac{-8}{3\pi}\frac{\pi-3}{\pi-4}.

Сродне функције[уреди]

Функција грешке је суштински идентична стандардној нормалној кумулативној функцији расподеле, означеној као Φ, јер се оне разликују само по скалирању и транслацији:

\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]\,.

Генерализована функција грешке[уреди]

График генерализоване функције грешке En(x):
сива крива: E1(x) = (1 − e −x)/\sqrt{\pi}
црвена крива: E2(x) = erf(x)
зелена крива: E3(x)
плава крива: E4(x)
златна крива: E5(x).

Неки аутори расправљају о општијој функцији

E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.

Случајеви вредни помена су:

  • E0(x) је права линија дефинисана као: E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}
  • E2(x) је функција грешке, erf(x).

После дељења са n!, све En за непарно n изгледају слично (али не и идентично) једна другој. Слично томе, En за парно n изгледају слично (али не и идентично) једна другој после простог дељења са n!. Све генерализоване функције грешке за n>0 изгледају слично за позитивне вредности x на графику.

Ове генерализоване функције се за x>0 могу еквивалентно представити користећи Гама функцију:

E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0

Према овоме, можемо дефинисати функцију грешке преко Гама функције:

\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}

Итеративни интеграли комплементарне функције грешке[уреди]

Итеративни интеграли комплементарне функције грешке су дефинисани преко:


\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) = \int_z^\infty \mathrm i^{n-1} \operatorname{erfc}\, (\zeta)\;\mathrm d \zeta.\,

Оне имају степени ред:


\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j! \Gamma \left(1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,

из кога следе својства симетричности


\mathrm i^{2m} \operatorname{erfc} (-z)
= - \mathrm i^{2m} \operatorname{erfc}\, (z)
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)! (m-q)!}

и


\mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc} (-z)
= \mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc}\, (z)
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.

Имплементација[уреди]

C/C++: Имплементирана је као функција double erf(double x) и double erfc(double x) у заглављу math.h или cmath у ГНУ верзији. Ово није део стандарда и зависи од имплементационе библиотеке. Парови функција {erff(),erfcf()} и {erfl(),erfcl()} узимају и враћају типове float и long double, респективно.

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]