Хелмхолцова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.

Теорем[уреди]

Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље \mathbf{F}(\mathbf{r}) одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:

 \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{F}_1(\mathbf{r})+\mathbf{F}_2(\mathbf{r}),

где је:

\operatorname{rot}\;\mathbf{F}_1 (\mathbf{r}) =0 и
\operatorname{div}\,\mathbf{F}_2 (\mathbf{r}) = 0

То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним \varphi и другим векторским \mathbf{A}.

Потенцијали[уреди]

Пошто је:

 \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{F}_1(\mathbf{r})+\mathbf{F}_2(\mathbf{r}),
\operatorname{rot}\;\mathbf{F}_1 (\mathbf{r}) =0 ,
\operatorname{div}\,\mathbf{F}_2 (\mathbf{r}) = 0

Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала \varphi и векторскога потенцијала \mathbf{A} тј:

 \mathbf{F}_1=-\nabla\varphi
 \mathbf{F}_2=\nabla\times\mathbf{A}

односно:

\mathbf{F}=-\nabla\varphi+\nabla\times\mathbf{A},

При томе је:

\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\int_{S}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\mathbf{\mathrm{d}S}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|},
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'+\frac{1}{4\pi}\int_{S}\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r}')\times\mathbf{\mathrm{d}S}'}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.

Ако \mathbf{F}(\mathbf{r}) опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:

\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V',
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'.

Лонгитудинална и трансверзална поља[уреди]

Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља \mathbf{F} добије поље \tilde{\mathbf{F}}, које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:

\tilde{\mathbf{F}}(\mathbf{k}) = \tilde{\mathbf{F}}_l(\mathbf{k}) + \tilde{\mathbf{F}}_t(\mathbf{k})
\mathbf{k} \cdot \tilde{\mathbf{F}}_t(\mathbf{k}) = 0.
\mathbf{k}\times \tilde{\mathbf{F}}_l(\mathbf{k}) = \mathbf{0}.

Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:

\mathbf{F} = \mathbf{F}_t+\mathbf{F}_l
\nabla \cdot \mathbf{F}_t = 0
\nabla\times \mathbf{F}_l = \mathbf{0}

што представља Хелмхолцову декомпозицију.

Литература[уреди]