Дивергенција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Дивергенција у векторској анализи представља векторски диференцијални оператор, који мери интензитет извора или понора векторскога поља у одређеној тачки. Дивергенција векторскога поља \ \mathbf F означава се као:

\ \operatorname{div} \mathbf F или \ \nabla \cdot \mathbf F.

Дефиниција[уреди]

Физикална представа[уреди]

Дивергенција векторскога поља у тродимензионалном простору може да се представи ако узмемо малу околину око неке тачке:

\operatorname{div}\,\mathbf{F}(p) = 
\lim_{V \rightarrow \{p\}}
\iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over |V|} \; dS

У случају да је флукс векторскога поља из те запремине већи од нула ради се о позитивној дивергенцији, а ако је мањи од нула о негативној дивергенцији. Ако је флукс поља нула тада је и дивергенција једнака нули. Нека векторско поље представља например брзину ширења ваздуха. Ако се ваздух загријава око дате тачке тада се шири, па је дивергенција позитивна. Ако се ваздух хлади тада се скупља, па је дивергенција негативна.

У Декартовом систему[уреди]

Дивергенција векторскога поља F = U i + V j + W k једнака је:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial U}{\partial x}
+\frac{\partial V}{\partial y}
+\frac{\partial W}{\partial z
}.

Дефиниција у криволинијским системима[уреди]

\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \operatorname{div}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) =

= \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right], где су H_i Ламеови коефицијенти.

У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором g_{ij} дивергенција је дана са: \operatorname{div} (\mathbf{A}) = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\part}{\part x^k}
\left(\sqrt{|g|} A^k \right) а метрика простора дефинисана је са:

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .

Цилиндричне координате[уреди]

За цилиндрични координатни систем имамо Ламеове коефицијенте:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.

Добија се:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, z) = 
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(A_r r) +
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}(A_\theta) + 
\frac{\partial}{\partial z}(A_z)

Сферне координате[уреди]

За сферни координатни систем имамо Ламеове коефицијенте:

\begin{matrix}H_r = 1 \\ H_\theta = r \\ H_\phi = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Дивергенција је:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, \phi) = 
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left[ A_r r^2 \right] + 
\frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ A_\theta \sin{\theta} \right] + 
\frac{1}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \big[ A_\phi\big]

Параболичне координате[уреди]

За параболични координатни систем имамо Ламеове коефицијенте:

\begin{matrix}
H_1 = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\xi}} \\ 
H_2 = \frac{\sqrt{\xi + \eta}}{2\sqrt{\eta}} \\ 
H_3 = \sqrt{\eta \xi} \end{matrix}.

Дивергенција је:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = 
\frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \frac{\sqrt{\xi^2+\xi\eta}}{2} \right] + 
\frac{4}{\xi + \eta} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \frac{\sqrt{\eta^2+\xi\eta}}{2} \right] + 
\frac{1}{\sqrt{\xi\eta}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

Сфероидне координате[уреди]

За издужени сфероидни координатни систем имамо Ламеове коефицијенте:

\begin{matrix}
H_1 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{\xi^2-1}} \\ 
H_2 = \sigma\sqrt{\frac{\xi^2 - \eta^2}{1-\eta^2}} \\
H_3 = \sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)} 
\end{matrix}.

Дивергенција је:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\xi, \eta, \phi) = 
\frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ A_\xi \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(\xi^2-1)} \right] +
\frac{1}{\sigma(\xi^2 - \eta^2)} \frac{\partial}{\partial \eta} \left[ A_\eta \sqrt{(\xi^2-\eta^2)(1-\eta^2)} \right] + 
\frac{1}{\sigma\sqrt{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

Својства[уреди]

\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{div}(\mathbf{F} ) 
+ b\;\operatorname{div}(\mathbf{G} )
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}), или
\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).
  • Векторска поља F и G повезана су са ротором
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}), или
\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).
\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi
\operatorname{div}  (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0

Генерализација[уреди]

За N-димензионално векторско поље:

\mathbf{F}=(F_1, F_2, \dots, F_n),

дивергенцију у N-димензионалном Еуклидовом систему где је \mathbf{x}=(x_1, x_2, \dots, x_n) и d\mathbf{x}=(dx_1, dx_2, \dots, dx_n) можемо да дефинишемо као:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}
+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\cdots 
+\frac{\partial F_n}{\partial x_n}.

Литература[уреди]

  • Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.