Апсолутна геометрија

Апсолутна геометрија је геометрија у којој није претпостављен постулат паралелности (Еуклидов пети постулат) нити било која од његових алтернатива. Њене теореме су, према томе, истините и у нееуклидским геометријама, таквим као што је хиперболичка геометрија, једнако као што су истините и у Еуклидовој геометрији. Тако, на пример, Еуклид у привих 28 пропозиција у својим Елементима избегава употребу постулата паралелности, због чега оне могу бити укључене у потпуности и у апсолутну геометрију.

Ова геометрија понекад се назива и неутралном геометријом, с обзиром да је неутрална у односу на постулат паралелности.

Апсолутна геометрија је добар пример једног непотпутног аксиоматског система (система постулата). Узмимо у обзир тврђење: „Збир углова у сваком троуглу једнак је збиру два права угла“. Ово није доказиво у оквирима апсолутне геометрије, јер када би то било, то би било истинито и у хиперболичкој геометрији, али је у хиперболичкој геометрији збир углова у троуглу мањи од два права угла. Осим тога, негација тврђења, да постоји троугао чији углови нису достатни за два права угла, није доказиво такође, јер када би то било, оно би било доказиво и у еуклидској геометрији, али сума углова у троуглу у еуклидској геометрији увек износи два права угла. Према томе, унутар апсолутне геометрије не може се одлучити о истинитости ове пропозиције.

Аксиоме

Апсолутна геометрија је заснована на аксиомама инциденције (припадања), поретка и подударности.

Аксиоме инциденције

• За сваке две тачке $A$ и $B$ постоји права $a$ која је инцидентна и са тачком $A$ и са тачком $B$.

• За сваке две тачке $A$ и $B$ постоји највише једна права која је инцидентна са сваком од тачака $A$ и $B$.

• За сваку праву постоје бар две тачке које су са њом инцидентне. Постоје бар три тачке које нису инцидентне са истом правом.

• За сваке три тачке $A$, $B$ и $C$ које нису инцидентне са истом правом, постоји раван која је инцидентна са сваком од тачака $A$, $B$, $C$. Свакој равни је инцидентна бар једна тачка.

• За сваке три тачке $A$, $B$ и $C$ које нису инцидентне са истом правом постоји највише једна раван која је инцидентна са сваком од тачака $A$, $B$, $C$.

• Ако су две тачке праве $a$ инцидентне са равни α, тада је свака тачка праве $a$ инцидентне са равни α.

• Ако постоји једна тачка која је инцидентна и са равни α и са равни β, тада постоји бар још једна тачка која је инцидентна и са равни α и са равни β.

• Постоје бар четири тачке које нису инцидентне са истом равни.

Аксиоме поретка

• Ако је $A$ - $B$ - $C$, тада су $A$, $B$ и $C$ три различите тачке једне исте праве и такође је $C$ - $B$ - $A$.

• За сваке две тачке $A$ и $B$ постоји тачка $C$, таква да је $A$ - $B$ - $C$.

• Ако су $A$, $B$ и $C$ три тачке једне праве, тада важи највише једна од релација: $A$ - $B$ - $C$, $B$ - $C$ - $A$ или $A$ - $C$ - $B$.

• (Пашова аксиома) Нека су $A$, $B$, $C$ три неколинеарне тачке и нека је $p$ права која је инцидентна са равни $ABC$ и није инцидентна ни са једном од тачака $A$, $B$, $C$. Ако постоји тачка $D$ $\in$ $p$ таква да је $A$ - $D$ - $B$, тада постоји тачка $E$ $\in$ $p$ таква да важи бар једна од релација $B$ - $E$ - $C$ или $C$ - $E$ - $A$.

Аксиоме подударности

• За сваку полуправу $a'$ са почетном тачком $A'$ и за сваку дуж $AB$, постоји тачка $B'$ $\in$ $A'$, таква да је дуж $AB$ подударна са дужи $A'B'$, и то записујемо $AB$ = $A'B'$.

• Ако је: $A'B'$ $\cong$ $AB$ и $A''B''$ $\cong$ $AB$, тада је $A'B'$ $\cong$ $A''B''$.

• Ако је $A$ - $B$ - $C$ и $A'$ - $B'$ - $C'$ и ако је $AB$ $\cong$ $A'B'$ и $BC$ $\cong$ $B'C'$, тада је $AC$ $\cong$ $A'C'$ .

• За сваку полураван α' са ивицом у правој $p'$, за сваку полуправу $a'$ $\subseteq$ $p'$ са почетном тачком $O'$, за сваки угао ∠аб, постоји једна и само једна полуправа $b'$ $\subseteq$ α' са почетном тачком $O'$, таква да је угао ∠аб подударан са углом ∠а'б', што записујемо ∠аб $\cong$ ∠а'б'

• Ако за троуглове $\Delta ABC$ и $\Delta A'B'C'$ важи да је $AB$ $\cong$ $A'B'$, $AC$ $\cong$ $A'C'$, ∠БАЦ $\cong$ ∠Б'А'C', тада је и ∠ЦБА $\cong$ ∠Ц'Б'А'.

Види још

• Николај Иванович Лобачевски
• Нееуклидска геометрија
• Хиперболичка геометрија

Литература

• Геометрy: Еуцлид анд Беyонд, Робин Хартсхорне, Спрингер
• Зоран Лучић, Еуклидска и хиперболичка геометрија (1997),ТОТАЛ ДЕСИГН и Математички факултет у Београду