Kvantno mehanički oscilator

Kvantno mehanički oscilator je kvantno mehanički analog klasičnom harmonijskom oscilatoru. Budući da se proizvoljni potencijal obično može aproksimirati kao harmonijski potencijal u blizini stabilne tačke ravnoteže, to je jedan od najvažnijih sistemskih modela u kvantnoj mehanici. Kvantni harmonijski oscilator je jedan od retkih kvantno-mehaničkih sistema za koji je poznato tačno, analitičko rešenje.

Jednodimenzionalni kvantni oscilator

Hamiltonijan i energija svojstvenih stanja

Hamiltonijan slobodne čestice dat je izrazom:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,$

gde je m masa čestice, k - konstanta, a $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ugaona frekvencija oscilatora , ${\hat {x}}$ - operator koordinate dat sa x, ${\hat {p}}$ - operator impulsa dat sa ${\hat {p}}=-i\hbar {\partial \over \partial x}\,$

Prvi član u Hamiltonijanu predstavlja kinetičku energiju čestice, a drugi član predstavlja njegovu potencijalnu energiju.

Može se napisati vremenski nezavisna Šredingerova jednačina:

${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,$

gde E označava svojstvene vrednosti energije, a rešenje |ψ⟩ označava sopstveno energetsko stanje. Diferencijalna jednačina koja predstavlja ovaj svojstveni problem može se rešiti u bazi koordinata, za talasnu funkciju ⟨x | ψ⟩ = ψ (x), koristeći spektralnu metodu. Ispada da postoji porodica rešenja. Na osnovu toga, oni predstavljaju Hermiteove funkcije:

$\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .$

Funkcije H_n predstavljaju Hermiteove polinome

$H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).$

Ogdovarajući nivoi energije su:

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)=(2n+1){\hbar \over 2}\omega ~.$

Ovaj energetski spektar je zapažen iz tri razloga. Prvo, energije se kvantuju, što znači da su moguće samo diskretne vrednosti energije (celi broj-polovina umnoška ħω); ovo je opšta karakteristika kvantno-mehaničkih sistema kada je čestica ograničena. Drugo, ti diskretni energetski nivoi su podjednako raspoređeni, za razliku od Borovog modela atoma. Treće, najniža dostižna energija (energija n = 0 stanja, koja se naziva osnovno stanje) nije jednaka minimumu potencijalne jame, već je ħω / 2 iznad nje. Ovo se naziva energija nulte tačke. Zbog energije nulte tačke, položaj i moment oscilatora u osnovnom stanju nisu fiksni (kao što bi to bilo u klasičnom oscilatoru), već imaju mali opseg odstupanja, u skladu sa Hajzenbergovim principom neodređenosti.