Хамилтонијан

Из Википедија

Хамилтонијан је функција или оператор, у зависности од тога да ли се користи у контексту класичне или квантне механике, који је од централног значаја за опис временске еволуције у физици.

[уреди] Хамилтонијан у класичној физици

У класичној физици Хамилтонијан је дефинисан као Лежандрова трансформација лагранжијана. Наиме, како се узима да је лагранжијан функција генралисаних координата, генералисаних брзина и времена у ситуацији у којој је погодније користити генералисане импулсе потребно је извршити трансформацију која ће довести до појаве тражене зависности. Дотична трансформација је лежандрова трансформација и у њој се зависност од генералисаних брзина смењује зависношћу од генералисаних импулса. Она гласи

$H(q_i, p_i, t)=\sum_{k=1}^{n}p_k \dot{q}_k-L(q_i, \dot{q}_i, t)$

,где $i = 1... n$ , n је број степени слободе система, L лагранжијан система, а $q_i, \dot{q}_i, p_i, t$ генералисане координате, генералисане брзине, генералисани импулси и време респективно. Ово је истовремено дефинициона релација за хамилтонијан. У случају када је кинетичка енергија система хомогена квадратна функција генералисаних брзина хамилтонијан је једнак укупној енергији система. Ово је најчешћи случај и хамилтонијан се често поистовећује са укупном енергијом система.

Изражене преко хамилтонијана, једначине кретања система (које се зову Хамилтонове једначине) гласе

$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

$\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}+Q_i^{nepot}$

, где $Q_i^{nepot}$ представља непотенцијалне генералисане силе. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су: импулси и координате фигуришу симетрично у једначинама и једначине су диференцијалне једначине првог реда.

Хамилтонов формализам у класичној механици је такође значајан зато што показује аналогије између класичне и квантне механике.

[уреди] Хамилтонијан у квантној механици

У квантној механици хамилтонијан је хермитски оператор и придружен је опсервабли енергије. Временску еволуцију квантног система диктира хамилтонијан преко Шредингерове једначине

$i\hbar\frac{\partial |\psi\rangle}{\partial t}=\hat{H}|\psi\rangle$

, где је $\hat{H}$ хамилтонијан, а $|\psi\rangle$ стање система.

Како хамилтонијан представља енергију, његове својствене вредности представљају могуће енергије које систем може да поседује. Свака опсервабла чији оператор комутира са хамилтонијаном представља одржану величину.

Добављено из "http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BD"