Kombinacija

Ukoliko ste tražili nešto drugo, pogledajte članak Kombinacija (višeznačna odrednica).

Kombinacije bez ponavljanja

U kombinatorici, svaki podskup od k (k ≤ n) različitih elemenata skupa S od n elemenata zove se kombinacija bez ponavljanja k-te klase od n elemenata. Poredak elemenata nije važan u kombinacijama: dva podskupa koja imaju iste elemente u drugačijem poretku čine istu kombinaciju. Broj od k kombinacija C(n, k) skupa koji ima n elemenata je:

$C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}},\quad n\geq k\geq 0,\quad (n,k)\in N$,

${n \choose k}={\frac {P(n,k)}{P(k,k)}},$

$P(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!}}$,

(vidi faktorijel)

sledi:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}.$

Takođe, broj $\quad {n \choose k}\quad$ naziva se binomni koeficijent. Treba uočiti da se $C_{k}^{n}$ može rešiti korišćenjem Paskalovog trougla.

Primer

Jedan dobar primer za razumevanje izračunavanja broja kombinacija bez ponavljanja je igra na sreću loto. Na primer, da bismo izračunali ukupan broj kombinacija lotoa u kom se od 39 mogućih brojeva izvlači 7 brojeva, primenjujemo formulu:

$C_{7}^{39}={39 \choose 7}={\frac {39\cdot (39-1)\cdots (39-7+1)}{7\cdot (7-1)\cdots 1}}=$

$={\frac {39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {77.519.922.480}{5.040}}=15.380.937$

Dakle, verovatnoća dobitka na lotou na kom se pogađa 7 od 39 brojeva je nešto veća od 1 prema 15 miliona.

Kombinacije sa ponavljanjem

Kombinacije k-te klase od n elemenata kod kojih se jedan element može do k puta ponavljati zovu se kombinacije s ponavljanjem k-te klase od n elemenata. Broj kombinacija s ponavljanjem je:

${\bar {C}}_{k}^{n}={\bar {C}}_{k}^{n+k-1}={n+k-1 \choose k}\quad$,

uz uslov: $n\geq k\geq 0,\ (n,k)\in N$.

Vidi još

• Kombinatorika
• Faktorijel
• Portal:Matematika