Mehanika kontakta

Naponsko stanje u kontaktnom području pri istovremenom opterećenju kroz normalnu i tangencijalnu silu. Naponsko stanje je učinjeno vidljivim pomoću fotoelastricimetrije.

Mehanika kontakta se bavi računanjem elastičnih, visokoelastičnih ili plastičnih tijela pri statičnom ili dinamičnom kontaktu.

Mehanika kontakta je osnova mašinstva, neophodna za dizajn sigurnih i energetski štedljivih mašinskih postrojenja.

Od interesa je za primjenu kod na primjer kontakta između točka i željezničke šine, kod spojnica, kočnica, guma, kliznih i kugličnih ležajeva, motora sa unutrašnjim sagorijevanjem, zglobova, hermetizacije, oblikovanja materijala, ultrazvučnog zavarivanja, električnih kontakata i mnogih drugih.

Njeni zadaci obuhvataju dokaz čvrstine kontaktnih i spojnih elemenata, preko uticaja podmazivanja ili dizajna materijala na trenje i habanje pa sve do primjene u sistemima mikro- i nanotehnike.

Istorija

Klasična mehanika kontakta je povezana prevashodno sa Hajnrihom Hercom.

1882. godine Herc je riješio problem kontakta između dva elastična tijela sa zakrivljenim površinama. Ovaj klasični rezultat predstavlja i danas jedan temelj mehanike kontakta.

Tek nepuni vek kasnije pronašli su Johanson, Kendal i Roberts slično rješenje za adhezivni kohtakt (JKR-Teorija).

Slijedeći napredak znanja o mehanici kontakta ostvaren je sredinom 20. veka zahvaljujući Bovdenu i Taboru. Oni su prvi ukazali na važnost hrapavosti kontaktnih tijela. Hrapavost utiče na to da je stvarna površina kontakta između tijela, između kojih se ostvaruje trenje, po pravilu za red veličine manja u odnosu na prividnu površinu kontakta. Ovo saznanje je naglo izmjenilo pravac mnogih triboloških istraživanja. Radovi Bovdena i Tabora prouzrokovali su čitav niz teorija mehanike kontakta hrapavih površina.

Kao pionirske radove na ovom području treba prije svega pomenuti radove Arharda (1957), koji na kraju zaključuje da je i u kontaktu elastičnih hrapavih površina kontaktna površina približno proporcionalna normalnoj sili.

Sledeći važni prilozi povezani su sa imenima Grinvuda i Vilijamsona (1966), Buša (1975) i Persona (2002). Najvažniji rezultat ovih radova je da je stvarna kontaktna površina kod hrapavih površina grubo proporcionalna normalnoj sili, dok su uslovi u pojedinačnim mikrokontaktima (pritisak, veličina mikrokontakta) samo slabo zavisni od opterećenja.

Klasični zadaci u kontaktnoj mehanici

Kontakt između kugle i elastičnog poluprostora

Kontakt između kugle i elastičnog poluprostora

Posmatrajmo elastičnu kuglu radiusa $R$ utisnutu u elastični prostor za veličinu $d$.

Pri tome se obrazuje kontaktno područje radijusa $a={\sqrt {Rd}}$.

Za to je potrebna sila

$F={\frac {4}{3}}E^{*}R^{1/2}d^{3/2}$ ,

pri čemu

${\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}$ .

gdje su $E_{1}$ i $E_{2}$ moduli elastičnosti, a $\nu _{1}$ i $\nu _{2}$ Poisonove konstante oba tijela.

Kontakt između dvije kugle

Neka su dvije kugle radijusa $R_{1}$ i $R_{2}$ u kontaktu.

Tada ove jednačine važe i dalje, s tim što je radijus $R$

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}$.

Raspodjela pritiska u kontaktnom području je data kao

$p=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{1/2}$

sa

$p_{0}={\frac {2}{\pi }}E^{*}\left({\frac {d}{R}}\right)^{1/2}$.

Maksimalan smičući napon za $\nu =0,33$ je pri $z\approx 0,49a$

Kontakt između dva ukrštena cilindra istih radijusa $R$

Kontakt između dva ukrštena cilindra istih radijusa

je isti kao i kontakt kugle radijusa $R$ i ravni (pogledaj gore).

Kontakt između tvrdog cilindra i elastičnog poluprostora

Kontakt između tvrdog cilindričnog utiskivača i elastičnog poluprostora

Jedan tvrdi cilindrični pečat radijusa $a$ utisnut u elastični poluprostor stvara sledeću raspodjelu pritiska

$p=p_{0}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-1/2}$

sa

$p_{0}={\frac {1}{\pi }}E^{*}{\frac {d}{a}}$.

Povezanost između veličine udubljenja $d$ i normalne sile je data kao

$F=2aE^{*}d{\frac {}{}}$.

Kontakt između tvrdog koničnog utiskivača i elastičnog poluprostora

Kontakt između tvrdog konusa i elastičnog poluprostora

Kod utiskivanja tvrdog koničnog utiskivača u elastični poluprostor postoji sledeća povezanost između veličine udubljenja $d$ i kontaktnog radijusa $a$

$d={\frac {\pi }{2}}a\tan \theta$

$\theta$ je ugao između granične ravni poluprostora i izvodnice konusa.

Raspodjela pritiska je opisana sledećom jednačinom

$p(r)=-{\frac {Ed}{\pi a\left(1-\nu ^{2}\right)}}ln\left({\frac {a}{r}}+{\sqrt {\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}-1}}\right)$ .

Napon u vrhu konusa (u centru kontaktnog područja) ima logaritamski singularitet.

Ukupna sila određuje se prema

$F_{N}={\frac {2}{\pi }}E{\frac {d^{2}}{\tan \theta }}$.

Kontakt između dva cilindra sa paralelnim osama

Kontakt između dva cilindra sa paralelnim osama

Sila je kod kontakta između dva cilindra sa paralelnim osama linearno proporcionalna veličini udubljenja

$F={\frac {\pi }{4}}E^{*}Ld$.

Radijus zakrivljenja se u ovoj relaciji ne pojavljuje.

Polovina kontaktne širine je data kao $a={\sqrt {Rd}}$,

sa

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}$

i ista je kao i u kontaktu između dvije kugle.

Maksimalni pritisak je

$p_{0}=\left({\frac {E^{*}F}{\pi LR}}\right)^{1/2}$ .

Kontakt između hrapavih površina

Kod kontakta između dva tijela sa hrapavim površinama je stvarna površina kontakta $A$ mnogo manja nego prividna površina kontakta $A_{0}$.

Stvarna površina kontakta između stohastički hrapave površine i elastičnog poluprostora je proporcionalna normalnoj sili $F$ i data je kroz jednačinu

$A={\frac {\kappa }{E^{*}h'}}F$

Pri čemu je $h'$ srednja kvadratna vrijednost nagiba površine i $\kappa \approx 2$.

Srednji pritisak u stvarnoj površini kontakta

$\sigma ={\frac {F}{A}}\approx {\frac {1}{2}}E^{*}h'$

računa se približno kao polovina efektivnog elastičnog modula $E^{*}$ pomnožena srednjom kvadratnom vrijednosti nagiba $h'$ profila površine.

Ako je ovaj pritisak veći od tvrdoće materiala$\sigma _{0}$, što znači

$\Psi ={\frac {E^{*}h'}{\sigma _{0}}}>2$,

onda je mikrohrapavost potpuno u plastičnom stanju. Za $\Psi <{\frac {2}{3}}$ površina se pri kontaktu ponaša elastično. Veličinu $\Psi$ su Grinvud i Vilijamson uveli i zove se indeks plastičnosti. Da li se sistem elastično ili plastično ponaša ne zavisi od primijenjene normalne sile.

Literatura

• K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S. ISBN 978-3-540-88836-9.
• I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci.,1965, v. 3, pp. 47–57.
• S. Hyun, M.O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413-1422.