Rolova teorema

Geometrijska interpretacija Rolove teoreme: Ako funkcija zadovoljava uslove teoreme (neprekidna na intervalu [a, b], i diferencijabilna na intervalu (a, b)), tada postoji tačka c, u intervalu (a, b), takva da je tangenta funkcije u toj tački vodoravna.

U analizi, grani matematike, Rolova teorema tvrdi da ako je f realna funkcija, neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], diferencijabilna na otvorenom intervalu (a, b), i ako je f(a) = f(b), tada postoji tačka c iz otvorenog intervala (a, b), takva da je f′(c) = 0.

Dokaz

Neka je f(a) = f(b). Kako je funkcija f(x) neprekidna na odsečku [a, b], to ona na tom odsečku dostiže bar jedanput svoju najveću vrednost М i svoju najmanju vrednost m. Ako je M = m, tada je funkcija konstantna na posmatranom intervalu, pa je njen izvod svuda jednak nuli na posmatranom intervalu. Ako je М različito od m, bar jedan od tih brojeva je različit f(a). Neka je, bez smanjenja opštosti, М različit od f(a). Dakle, funkcija ima lokalni ekstremum u nekoj tački c, pa je, na osnovu Fermaove teoreme, f′(c) = 0. Ovim je teorema dokazana.