U matematičkoj oblasti numeričke analize, splajn interpolacija je vrsta interpolacije gde je interpolent specijalan polinom poznat kao splajn. Splajn interpolacija se češće koristi od polinomijalne interpolacije jer je njena greška često dosta manja, čak i sa malim stepenima splajn polinoma. Splajn interpolacija zaobilazi problem Rungeovog fenomena, u kome se javljaju oscilacije između tačaka kada se interpolira polinomom visokog stepena.
Splajn je ranije bio elastični lenjir napravljen da se savija i prođe između različitih fiksiranih tačaka. Koristili su se za tehničke crteže, uglavnom u brodogradnji, kada se crtalo rukom.
Matematički model elastičnog lenjira fiksiranog između n+1 čvorova je interpolacija između svaka dva para čvorova i sa polinomima .
Krivina krive
je
Pošto splajn teži da minimizuje krivinu, i će biti neprekidne svuda, pa i u samim čvorovima. Da bi ovo bilo postignuto, mora
i da
za sve i, . Ovo se može postići samo ako se koriste polinomi stepena 3 ili veći. Uglavnom se koristi stepen 3, to jest kubni splajn.
Postavljanjem x = x1 i x = x2 u jednačinama (5) i (6) dobijamo (2) što jesu prvi izvodi q'(x1) = k1 i q'(x2) = k2 kao i drugi izvodi
(7)
(8)
Ako sada (xi, yi) gde i = 0, 1, ... , n are n+1 tačke i
(9)
gde i = 1, 2, ..., n i are n polinomi trećeg stepena interpoliraju y u intervalu
xi-1 ≤ x ≤ xi za i = 1,... , n tako da q'i (xi) = q' i+1 (xi) za i = 1, ... , n-1
onda n polinoma zajedno definiše diferencijabilnu funkciju na intervalu x0 ≤ x ≤ xn i
(10)
(11)
za i = 1, ..., n gde
(12)
(13)
(14)
Ako je niz k0, k1, ..., kn takav da dodavanjem q"i(xi) = q"i+1(xi) za i = 1, ..., n-1 rezultujuća funkcija će imati i neprekidan drugi izvod.
Iz (7), (8), (10) and (11) sledi da je ovo slučak ako i samo ako
(15)
za i = 1, ..., n-1. Relacije (15) su n-1 linearne jednačine za n+1 vrednost k0, k1, ..., kn.
Za elastične lenjire treba da važi da levo od najlevljeg i desno od najdešnjeg čvora lenjir treba da se slobodno kreće i zauueće oblik prave linije sa q" = 0 . Kako q" treba da je neprekidna funkcija po x za „prirodne splajnove“ i pored n-1 linearnih jednačina (15) treba da važi
to jest da
(16)
(17)
Dakle, (15) zajedno sa (16) i (17) daju n+1 linearnih jednačina koje jednoznačno određuju n+1 parametara k0, k1, ..., kn.