Tepih Sjerpinjskog

6 koraka Sjerpinjskog tepiha

Sjerpinskog tepih je ravan fraktal prvi opisan od strane Vaclava Sjerpinskog 1916. godine Tepih je jedna generalizacija Kantor skupa postavljena na dve dimenzije; druga je Kantor prašina.

Tehnika podele oblika na manje primere sebe, uklanjanje jedne ili više kopija, i nastavljanje rekurzivno može se proširiti i na druge oblike. Na primer, parcelizacijom jednakostranični trougao u četiri istostraničnog trougla, uklanjanje srednjeg trougla, i rekurzija vodi do Sjerpinjskog trougla. U tri dimenzije, slična konstrukcija bazirana na kockicama proizvodi Mengerovu Sunđer.

Konstrukcija

Izgradnja Sjerpinskog tepiha počinje od kvadrata. Kvadrat je isečen na 9 podudarnih podkvadrata u 3-od-3 mreže, a centralni podkvadrat je uklonjen. Isti postupak se primenjuje rekurzivno zatim do preostalih 8 podkvadrata. Može se realizuje kao skup tačaka u jedinici kvadrata čije koordinate napisani na osnovi tri obe imaju cifru "1" u istom položaju.

Proces rekurzivnog uklanjanja kvadrata je primer konačnih podrazrednih pravila.

Sjerpinski tepih može biti napravljen od iterativnog svakog piksela na kvadrat i korišćenjem sledećeg algoritma da odluči da li je piksel popunjen. Sledeća implementacija je važeća za programske jezike C, C++ i Java.

/**
* Одлучује да ли тачка на одређеној локацији је испуњена или не. Ово функционише тако што итерација прво проверава да ли је
* пиксел је упражњен у сукцесивно већим квадратима или не може да буде у центру било kојег већег квадрата
* @param x је х координата тачке која се проверава са нулом да ли је први пиксел
* @param y је y координата тачке која се проверава са нулом дали је први пиксел
* @return 1 ако је испуњено или 0 ако је отворено
*/
int isSierpinskiCarpetPixelFilled(int x, int y)
{
    while(x>0 || y>0) //када било који од ових се сведу на нулу пиксел је одлучан да буде на ивици 
                             // На том нивоу квадрата и морају бити попуњена
    {
        if(x%3==1 && y%3==1) //проверава да ли је пиксел је у центру за текући квадратни ниво
            return 0;
        x /= 3; //x и y се декрементира да провери следећи већи ниво квадрата
        y /= 3;
    }
    return 1; // ако сви могући квадратни нивои су проверени и пиксел није одређен 
                   // да би био отворен мора бити попуњен
}

Proces

Osobine

Površina tepiha je nula (u standardnoj meri lebega). Dokaz: Označimo sa a_i površinu od ponavljanja i. Tada a_i+1=8/9⋅a_i. Dakle, a_i = (8/9)ⁱ, koja teži da ide 0 kao što i ide do beskonačnosti.

Unutrašnjost tepiha je prazna. Dokaz: Pretpostavimo suprotno od da postoji tačka P u unutrašnjosti tepih. Zatim, tu je kvadrat sa centrom na P koji je u potpunosti sadržan u tepihu. Ovaj kvadrat sadrži manji kvadrat čije koordinate su deljivi sa 1/3^k za neko k. Ali, ovaj kvadrat mora biti u iteraciji k, tako da ne može biti sadržan u tepihu - kontradikcije.

Hausdorfova dimenzija tepiha je  log 8/log 3 ≈ 1.8928

Sjerpinski je pokazao da je njegov tepih univerzalna ravan krive. To je: Sjerpinski tepih je kompaktan podskup ravni sa Lebegovom pokrivenom dimenzijom 1, i svaki podskup ravni sa ovim osobinama je homeomorfan u neki podskup Sjerpinskog tepiha.

Ova "univerzalnost" u Sjerpinskom tepihu nije univerzalna osobina u smislu teorije kategorije: ne jedinstveno karakteriše ovaj prostor do homeomorfizma. Na primer, disjunktna unija od Sjerpinskog tepiha i krug je takođe univerzalna ravan krive. Međutim, 1958. Gordon Viburn  jedinstveno je okarakterisao Sjerpinski tepih na sledeći način: bilo koja kriva koja je lokalno povezana i nema 'lokalne isečene punktove' je homeomorfna na Sjerpinski tepih. Ovde lokalna rez-tačka je tačka p za koju su neke povezane U od p imaju svojstvo da U-{p} nije povezano. Tako, na primer, bilo koja tačka kruga je lokalna rez tačka.

Na istom papiru Vhiburn je dao još jednu karakterizaciju Sjerpinskog tepiha. Podsetimo da je Kontinuum neprazan povezan kompaktan metrički prostor. Pretpostavimo da je H neprekidno ugrađen u ravni. Pretpostavimo da njegova dopuna u ravni ima mnogo brojevnih povezanih komponenti C₁,C₂C₃,.... i pretpostavimo da

• prečnik $C_{i}$ teži ka nuli kao $i\to \infty$;
• granica $C_{i}$ i granica $C_{j}$ su razdvojene ako je $i\neq j$;
• granica $C_{i}$ je jednostavna zatvorena kriva za svako $i$;
• jedinstvo granica skupova $C_{i}$ je gusto u X.

Onda H je homeomorfno na Sjerpinjskom tepihu.

Braunovo kretanje na Sjerpinskom tepihu

Tema Braunovog kretanja na Sjerpinskom tepihu je privukla pažnju u poslednjih nekoliko godina. Martin Barlou i Rihard Bas su pokazali da se nasumično hodanje na Sjerpinskom tepihu rasipa sporijim tempom nego neograničeno slučajno šetanje u avionu. Ovaj drugi dostiže srednju udaljenost srazmerno n_1/2 nakon n koraka, ali nasumično hodanje na diskretnom Sjerpinskom tepihu dostiže samo srednju udaljenost srazmerno n_1/β za neko β>2. Oni su takođe pokazali da ova slučajna šetnja zadovoljava jaču veliku devijaciju nejednakosti (tzv "pod-Gausovu nejednakost") i da zadovoljava eliptičku Harnakovu nejednakost bez zadovoljenja parabolične jedince. Postojanje takvog primera je bio otvoren problem mnogo godina.

Valisovo sito

Varijacija Sjerpinskog tepiha, koji se zove Valisovo sito, počinje na isti način, parcelizacijom osnovnog dela kvadrata u devet manjih kvadrata i uklanjanje srednjeg od njih. Na sledećem nivou podele, to deli svaki od kvadrata u 25 manjih kvadrata i uklanja srednji jedan, i to se nastavlja i-tim korakom od podele svakog kvadrata u (2i+1)² 2 manjih kvadrata i uklanjanjem jednog srednjeg.

Po Valis proizvodu, površina dobijenog seta je π / 4,za razliku od standardnog Sjerpinskog tepiha koji ima nultu limitirajuću oblast.

Međutim, iz rezultata Vajburna pomenutih gore, možemo videti da je Valis sito homeomorfna na Sjerpinjski tepih. Posebno, njegova unutrašnjost je još uvek prazna.

Aplikacije

Mobilni telefon i VF antene fraktala su proizvedene u vidu nekoliko iteracija u Sjerpinskom tepihu. Zbog svoje samosličnosti i obima invarijantnosti, oni lako smeštaju više frekvencija. Oni su takođe laki da se izmisle i manji od uobičajenih antena sličnih performansi, tako su optimalni za džepne mobilne telefone.

Vidi još

• Spisak fraktala Hausdorfove dimenzije
• Havajska naušnica

Spoljašnje veze

• Variations on the Theme of Tremas II
• Sierpiński Cookies
• Sierpinski Carpet Project