Борел-Лебегова лема

Из Википедије, слободне енциклопедије

Поред назива Борел-Лебегова лема/теорема, алтернативни назив који се користи је и Хајне-Борелова теорема. Лема носи назив по француским математичарима Емилу Борелу и Хенрију Лебегу, односно Едварду Хајнеу.

У специјалном случају, лема описује једно важно својство одсечака реалне праве, док у општем смислу подразумева својство компактности метричких простора.

Дефиниција[уреди]

Борел-Лебегова лема: Из сваког покривача отвореним интервалима, одсечка реалне праве  [a, b] , може се издвојити коначан потпокривач.

Доказ[уреди]

Означимо са  X скуп свих оних тачака  x за које важи да се одсечак  [a,x] може покрити коначним бројем отворених интервала. Тај скуп X очигледно није празан, јер му припада најпре тачка  a која према условима тврђења мора припадати неком отвореном интервалу. Потребно је доказати да и тачка  b припада скупу  X .


Пошто скуп  X није празан и ограничен је одозго, он мора имати супремум. Нека је  y његов супремум. Ако претпостављамо да тачка b не припада том скупу, онда је  x \leq y \leq b , те и  y припада одсечку [a, b], па као и свака тачка тог сегмента, и  y припада неком отвореном интервалу (\alpha, \beta). Тада за неко  x важи:  \alpha \leq x \leq y , јер би иначе то  x било супремум скупа X.


Интервал  (\alpha, \beta) можемо придружити скупу  X , зато што је могуће и одсечак  [a,y] прекрити са коначним бројем отворених интервала. Међутим, ако би било  y \neq b , тада би се између  y и  b нашло још чланова скупа X због отворености интервала (\alpha, \beta), што је у супротности са тиме да је  y супремум скупа X. Због тога, и  b припада скупу  X , чиме смо доказали да се одсечак [a, b] може прекрити са коначним бројем отворених интервала, што је и тврђење леме.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.