Дуж

Из Википедије, слободне енциклопедије

Дуж се може дефинисати као скуп тачака једне праве између две њене различите тачке заједно са тим тачкама. Такође може се и посматрати као пресек две полуправе, које припадају истој правој, који није полуправа.

У принципу, сама дуж је једнозначно одређена са:

  • Две тачке, које представљају њене крајеве.
  • Једном тачком, и вектором са коефицијентом који одређују другу тачку дужи

Дуж коју чине тачке A и B се обележава са \overline{AB} и идентична је дужи \overline{BA}.

Пример[уреди]

Рецимо да је дата дуж \overline{AB}. Потребно је дати релацију која описује све њене тачке. Узмимо тачку A за референцу. Тада ће тачка B моћи бити изражена преко ње на следећи начин:

B = A + 1 \cdot \overrightarrow{AB}

Ако нам је жеља да на исти начин изразимо тачку A, релација ће изгледати овако:

A = A + 0 \cdot \overrightarrow{AB}

Све тачке између A и B, укључујући и њих саме ће бити одређене следећом релацијом:

\overline{AB} \ni A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \lambda \in [0, 1]

Ако постоји потреба да буде употребљен јединични вектор, запис ће изгледати овако:

\overline{AB} \ni A + \lambda \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{ ||\overrightarrow{AB}||}, \; \lambda \in [0,||\overrightarrow{AB}||]

Тиме је одређена и дуж.

Дужина дужи[уреди]

Дужина дужи је растојање између тачака A и B. У еуклидским просторима се одређује на следећи начин:

d \left (\overline{AB} \right) = d \left (A,B \right) = d \left (B,A \right) = \sqrt{{\sum_{k=1}^n { \left (B_i - A_i \right )^2 }}}

Конкретно у дводимензионом простору, где су A = \left (A_x,A_y \right ) и B = \left (B_x,B_y \right ):

d \left (\overline{AB} \right) = \sqrt{ \left (B_x - A_x \right )^2 + \left (B_y - A_y \right )^2 }

Конкретно у тродимензионом простору, где су A = \left (A_x,A_y,A_z \right ) и B = \left (B_x,B_y,B_z \right ):

d \left (\overline{AB} \right) = \sqrt{ \left (B_x - A_x \right )^2 + \left (B_y - A_y \right )^2 + \left (B_z - A_z \right )^2 }

Спољашње везе[уреди]