Права (линија)

Из Википедије, слободне енциклопедије
Disambig.svg
Друга значења су пописана у чланку Линија (вишезначна одредница).

Права линија (или права) је један од основних геометријских појмова, чија се индиректна (посредна) дефиниција даје у аксиоматској изградњи курса геометрије. Права линија Еуклидове равни се може дефинисати као геометријско место тачака чије Декартове координате (или афине) задовољавају једначину: ax+by+c=0, где бројеви a,b,c нису истовремено сви једнаки нули.

Немачки научник Г. Лајбниц је праву линију дефинисао као линију која дели раван на два конгруентна дела, међутим под ову дефиницију потпадају и друге линије - на пример, синусоида и свака правилна изломљена линија чија су свака два сегмента на прескок - паралелна.

Аналитичке дефиниције[уреди]

Приказ праве линије у координатном систему

Права се у правоугаоном координатном систему може задати на један од три начина:

  • Помоћу одсечка b на ординати и угла \alpha који гради права са позитивним правцем апсцисе.
Једначина праве је y = mx+b\,, где је m=\tan \alpha \, и често се зове општа једначина праве. Обично се код овакве једначине m зове коефицијент правца, а b је одсечак ординате.
  • Помоћу одсечака b и c које права одсеца на координатним осама.
Једначина праве где је \frac{y}{b}+\frac{x}{c} = 1 се зове сегментска.
  • Помоћу њеног одстојања до координатног почетка p и угла \omega који гради то одстојање са позитивном страном апсцисе.
Нормална једначина праве се зове једначина облика y \sin \omega + x \cos \omega - p = 0\,

Античке дефиниције[уреди]

Еуклидови Елементи, књига I[уреди]

Дефиниција 2
Линија је дужина без ширине
Дефиниција 3
Крајеви линије су тачке
Дефиниција 4
Права линија је она, која за тачке на њој подједнако лежи

Архимед, О лопти и ваљку, књига I[уреди]

Аксиома 1
Од свих линија са истим крајевима права линија је најкраћа.

Права у три и вишедимензионалном простору[уреди]

Права у простору R^n се дефинише као скуп тачака (уређених n-торки) a = (a_1,\dots,a_n) које задовољавају једначину:

a = P + \lambda \overrightarrow{v}, где су:

  • P = (p_1,\dots,p_n) \in R^n - произвољна тачка праве.
  • \overrightarrow{v} = (v_1,\dots,v_n) \in R^n - вектор који означава правац праве. Може се представити и као векотор између било које две произвољне али различите тачке праве. Ако тачке нису различите, овај вектор ће бити нула-вектор, што ће значити да је a у ствари само тачка P.
  • \lambda \in R - параметар.

Параметарска једначина праве би изгледала овако:

a_1 = p_1 + \lambda v_1 \; ; \; a_2 = p_2 + \lambda v_2 \; ; \; \dots \; ; \; a_n = p_n + \lambda v_n

Ако се параметар λ елиминише, добијају се канонске једначине праве:

\frac{a_1 - p_1}{v_1} = \frac{a_2 - p_2}{v_2} = \dots = \frac{a_n - p_n}{v_n}

Права и тачка у простору димензије 3 или веће[уреди]

Рецимо да су дате једна тачка P и једна права a = A + αv при чему P,A,\overrightarrow{v} \in R^n \;, \; \alpha \in R. Могући положаји међу њима су:

  • Тачка је ван праве, тј. не постоји α за које је P = A + αv
  • Тачка је на правој, тј. постоји α за које је P = A + αv

Растојање тачке од праве[уреди]

Растојање тачке од праве се представља као дужина најкраћег пута од тачке до праве. Корисна је чињеница да је дужина овог пута једнака растојању између тачке P и њене пројекције P', на a. Ова тачка се налази преко чињеница да тачка P' припада правој и да је вектор PP' нормалан на вектор праве v.

P' = A + \alpha v
\overrightarrow{PP'} \cdot v = 0 (в. скаларни производ)

Одавде се да одредити вредност α и тада је P' = A+ αv. Растојање праве од тачке ће бити једнако растојању P од P' илити интензитету векторра PP' то јест d(P,a) = |PP'|. Уколико је вредност овог израза нула, то је још један начин за показивање да се тачка P налази на правој a.

Растојање тачке од праве у R³[уреди]

Специјално у R^3 би важило:

d(P,a) = \frac{| \overrightarrow{AP}\times v|}{|v|} (в. векторски производ и интензитет вектора).

Две праве у простору димензије 3 или веће[уреди]

Две праве a = A + αv и b = B + βu у R^n могу да заузимају следеће положаје, једна у односу на другу:

  • могу бити идентичне, ако (A \in b \lor B \in a) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}.
  • могу бити паралелне, ако (A \notin b) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}
  • могу да се секу, уколико важи  v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} и једначина A + αv = B + βu има једнозначно решење по α и β. Тачка пресека I ће у овом случају бити -{I = A + αv = B + βu}
  • могу бити мимоилазне, уколико важи  v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} али једначина -{A + αv = B + βu} нема решења.

Специјално у R^3 се v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} може заменити са v \times u = 0.

Растојање две паралелне праве[уреди]

Растојање две паралелне праве се да одредити као растојање произвољне тачке P једне од две праве од њене пројекције P' на другу праву. Дакле рецимо да је P у ствари A од праве a. Сада се тражи њена пројекција A' = B + k\overrightarrow{v}, k \in R\;\land\; AA' \bot v. Из ових услова се да наћи коефицијент k а са њиме је и A' одређено. Растојање између тачака A и A' ће бити једнако растојању међу паралелним правама a и b.

Растојање две паралелне праве у R³[уреди]

У тродимензионалном простору је овај поступак нешто лакши. Ако су две праве a и b са почетка поглавља паралелне, њихово растојање је једнако висини паралелограма кога граде вектори \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{v}. Она се да добити као количних површине овог паралелограма (интензитет векгорског производа) и интензитета вектора v.


d(a,b) = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}

Растојање две мимоилазне праве[уреди]

Растојање две мимоилазне праве је у ствари минимално растојање између тачака које их чине. Један од начина да се оно нађе је да се представи вектор између њих, и потом нађе за које параметре правих ће његова величина бити минимална. Назовимо овај вектор w, и опште тачке правих a и b именима P и Q. Оне ће бити:

P = A + \alpha v = (A_1+\alpha  v_1, A_2+\alpha v_2,...,A_n+ \alpha v_n), \alpha \in R Q = B + \beta u, \beta \in R

Интензитет вектора \overrightarrow{AB} ће бити |\overrightarrow{AB}| = f(\alpha,\beta) = \sqrt{(A_1+\alpha v_1- B_1-\beta u_1)^2 + \dots + (A_n+\alpha v_n- B_n-\beta u_n)^2 }. Како корен не утиче на вредност коју параметри α и β имају при максималној вредности израза, корен се овде може избацити. Следећи корак би било тражење првих извода израза f(\alpha,\beta) по α и по β. Тако ће се добити систем од две једначине са две непознате, α и β, који се да решити.

\begin{cases} f(\alpha,\beta)'_\alpha \\
f(\alpha,\beta)'_\beta \end{cases}

Када се одавде добијене вредности α и β врате у једначине правих a и b, респективно, резултујуће координате ће представљати тачке, назовимо их P_0 и Q_0, чије растојање је минимално растојање између ове две праве.

d(a,b) = d(P_0,Q_0).

Растојање две мимоилазне праве у R³[уреди]

Специјално у случају R^3 је ситуација једноставнија и да се решити преко мешовитог производа. Ако су две праве са почетка поглавља, a и b, мимоилазне, онда ће важити |[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]| \ne 0, јер је то заправо запремина паралелопипеда које чине ова два вектора праве и вектор између њихове две произвољне тачке. Како је векторски производ |u\times v| површина основе овог паралелопипеда, а његова висина управо минимално растојање међу мимоилазним правама, може се рећи да је минимално растојање међу мимоилазним правама у R^3:

d(a,b) = \frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}]|}{|u\times v|}


Полуправа[уреди]

Нека је на правој a дата тачка O. Тада је за сваку другу тачку Z праве a:

O < Z, или Z < O
Ако је O < Z, онда није Z < O

За све тачке XO праве а скуп а без тачке O подијељен у две класе тачака, једну класу тачака чине тачке за које је X < O, а другу за које је O < Y.

За обе ове класе постоје тачке A и B такве да је A < O и O < B

Скуп тачака праве које леже са исте стране дате тачке O те праве називамо отворена полуправа, тачка O је почетак те полуправе. Ако отвореној полуправој прикључимо тачку O добијамо затворену полуправу. Свака тачка праве дели праву на две отворене и две затворене полуправе, за које кажемо да су супротне. Продужење дужи AB називамо ону полуправу праве AB којој је почетак тачка B, а којој припада тачка A. За две полуправе кажемо да имају исти смер ако се једна од тих полуправих садржи у другој, у противном имају супротан смер.

Литература[уреди]

Wikisource has the text of the 1911 Encyclopædia Britannica article Line.
  • Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-18283-2 
  • Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. New York: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-1748-3. 
  • Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 978-0-486-65812-4 
  • Wylie, Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-072191-3 

Спољашње везе[уреди]