Поворка импулса

Из Википедије, слободне енциклопедије
Поворка импулса као бесконачни ред Диракових делта функција на интервалима од T.

У математици поворка импусла (такође Дираков чешаљ и функција одабирања у електротехници) је периодична Шварцова расподела сачињена од Диракових делта функција.

\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)

на неком одређеном интервалу времена T. Неки аутори, конкретно Брејсвел као и неки аутори уџбеника за електротехнику и теорију електричних кола, називају ову функцију Ш функцијом (могуће зато што график подсећа на облик слова Ш). Пошто је ова функција периодична, може да се представи Фуријеовим редом:

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

Особина скалирања[уреди]

Особина скалирања следи директно из особине Диракове делта функције

\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T) = |\alpha|\cdot \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\bigg(\alpha\cdot (t - k T)\bigg).

Фуријеов ред[уреди]

Јасно је да је ΔT(t) периодично са периодом T. То јест

 \Delta_T(t+T) = \Delta_T(t) \quad \forall t .

Комплексни Фуријеов ред за такву периодичну функцију гласи

 \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \

где Фуријеови коефицијенти, cn, износе,

c_n\, = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad (-\infty < t_0 < +\infty ) \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \
= \frac{1}{T}. \

Сви Фуријеови коефицијенти су 1/T, због чега је

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

Фуријеова трансформација[уреди]

Фуријеова трансформација поворке импулса је такође поворка импулса.

Јединична трансформација у фреквенцијски домен (Hz):
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad {1\over T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left(f - {k\over T} \right) \quad = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi fnT}
Јединична трансформација у угаони фреквенцијски домен (rad/s):
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad \frac{\sqrt{2\pi }}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left(\omega -k \frac{2\pi }{T}\right) \quad = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-i\omega nT} \,

Одабирање и преклапање[уреди]

Множење континуалног сигнала поворком импулса понекад се назива идеални одабирач са интервалом одабирања T.

Када се користи као идеални одабирач, може да се употреби за разумевање ефекта преклапања (алијасинга) и као доказ за Никвист-Шенонова теорема одабирања.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)