Рикатијева једначина

Рикатијева једначина је диференцијална једначина облика:

$y'= P(x) + Q(x)y +R(x)y^2$,

где су $P(x) \neq 0$ и $R(x) \neq 0$. У случају $P(x) = 0$ једнака је Бернулијевој једначини. Добила је име по италијанском математичару Јакопу Рикатију.

Редукција на линеарну једначину другога реда

Нелинеарна Рикатијева једначина:

$y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\!$

може да се редуцира на линеарну диференцијалну једначину другога реда, па се онда решавањем те једначине може да се реши и Рикатијева једначина. У случају да $q_2$ није једнак нули тада се супституцијом $v=yq_2$ од Рикатијеве једначине добија:

$v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v \frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2 +\left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2.\!$.

Ако ту означимо $S=q_2q_0$ и $R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right)$ онда Рикатијева једначина постаје облика:

$v'=v^2 + R(x)v +S(x).\!$

Уведемо ли супституцију $v=-u'/u$ онда следи:

$v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2\!$ и одатле:

$u''/u= v^2 -v'=-S -Rv=-S +Ru'/u\!$

односно добија се диференцијална једначина за $u$:

$u''-R(x)u' +S(x)u=0 \!$

Решавање интеграцијом

Знамо ли једно од парцијалних решења $y_1$ Рикатијеве једначине тада се опште решење може представити као:

$y = y_1 + u$

Супституцијом тога решења у Рикатијевој једначини добијамо:

$y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,$

и онда:

$y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2$

$u' = q_1 \, u + 2 \, q_2 \, y_1 \, u + q_2 \, u^2$

тј. добија се Бернулијева диференцијална једначина:

$u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2,$.

Бернулијеву једначину решавамо супституцијом

$z =\frac{1}{u}$ тј.

$y = y_1 + \frac{1}{z}$

па се од Рикатијеве једначине добија линеарна једначина:

$z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2$

Литература

• Рикатијева једначина
• Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0