Рикатијева једначина

Из Википедије, слободне енциклопедије

Рикатијева једначина је диференцијална једначина облика:

 y'= P(x) + Q(x)y +R(x)y^2 ,

где су P(x) \neq 0 и R(x) \neq 0. У случају P(x) = 0 једнака је Бернулијевој једначини. Добила је име по италијанском математичару Јакопу Рикатију.

Редукција на линеарну једначину другога реда[уреди]

Нелинеарна Рикатијева једначина:

y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\!

може да се редукује на линеарну диференцијалну једначину другога реда, па се онда решавањем те једначине може да се реши и Рикатијева једначина. У случају да q_2 није једнак нули тада се супституцијом v=yq_2 од Рикатијеве једначине добија:

v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v \frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2  +\left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2.\!.

Ако ту означимо S=q_2q_0 и R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right) онда Рикатијева једначина постаје облика:

v'=v^2 + R(x)v +S(x).\!

Уведемо ли супституцију v=-u'/u онда следи:

v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2\! и одатле:
u''/u= v^2 -v'=-S -Rv=-S +Ru'/u\!

односно добија се диференцијална једначина за u:

u''-R(x)u' +S(x)u=0 \!

Решавање интеграцијом[уреди]

Знамо ли једно од парцијалних решења y_1 Рикатијеве једначине тада се опште решење може представити као:

 y = y_1 + u

Супституцијом тога решења у Рикатијевој једначини добијамо:

 y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,

и онда:

 y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2
 u' = q_1 \, u + 2 \, q_2 \, y_1 \, u + q_2 \, u^2

тј. добија се Бернулијева диференцијална једначина:

 u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2, .

Бернулијеву једначину решавамо супституцијом

 z =\frac{1}{u} тј.
 y = y_1 + \frac{1}{z}

па се од Рикатијеве једначине добија линеарна једначина:

 z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2

Литература[уреди]