Фробенијусов метод

Из Википедије, слободне енциклопедије

Фробенијусов метод представља један од метода решавања диференцијалних једначина другога реда облика:

z^2u''+p(z)zu'+q(z)u=0 \,

где су:

u' \equiv {{d u} \over {d z}} и u'' \equiv {{d^2 u} \over {d z^2}} у близини регуларнога сингуларитета z=0. Поделимо ли са z2 добијамо диференцијалну једначину:
u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^2}u = 0

Метода је добила име по немачком математичару Фердинанду Фробенијусу.

Метода[уреди]

Према Фробенијусовој методи тражимо решење у облику реда:

u(z)=\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}, \qquad (A_0 \neq 0)

Диференцирањем добијамо:

u'(z)=\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}
u''(z)=\sum_{k=0}^\infty (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}

После тога горе добиујене редове супституирамо у диференцијалну једначину и добијамо:


\begin{align}
& {} \quad z^2\sum_{k=0}^\infty (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2} + zp(z) \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1} + q(z)\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\
& = \sum_{k=0}^\infty (k+r-1) (k+r)A_kz^{k+r} + p(z) \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r} + q(z) \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\
& = \sum_{k=0}^\infty (k+r-1)(k+r) A_kz^{k+r} + p(z) (k+r) A_kz^{k+r} + q(z) A_kz^{k+r} \\
& = \sum_{k=0}^\infty \left[(k+r-1)(k+r) + p(z)(k+r) + q(z)\right] A_kz^{k+r} \\
& = \left[ r(r-1)+p(z)r+q(z) \right] A_0z^r+\sum_{k=1}^\infty \left[ (k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z) \right] A_kz^{k+r}
\end{align}

Иницијални полином је следећи израз:

r\left(r-1\right) + p\left(0\right)r + q\left(0\right) = I(r) \,

Према општој дефиницији иницијални полиноми су коефицијенти најнижега степена по z. Општи израз за коефицијенте од zk + r је:

I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_j

Ти коефицијенти треба да буду једнаки нули, јер они треба да представљају решења диференцијалне једначине, па следи:

I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1} \left[ (j+r)p(k-j)+q(k-j) \right] A_j=0
\sum_{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_j=-I(k+r)A_k
{1\over-I(k+r)}\sum_{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_j=A_k

Горње решење са Ak је:

U_{r}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^{k+r}

и задовољава:

z^2U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;

Одаберемо ли један од корена иницијалнога полинома, тада добијамо решење диференцијалне једначине.

Пример[уреди]

Покушамо ли да решимо следећи диференцијалну једначину:

z^2f''-zf'+(1-z)f=0\,

Поделимо ли је са z2 добијамо:

f''-{1\over z}f'+{1-z \over z^2}f=f''-{1\over z}f'+\left({1\over z^2} - {1 \over z}\right) f = 0

Претпостављамо решења у облику реда:

f   = \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r}
f'  = \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1}
f'' = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}

и та решења супституирамо у горњу једначину:


\begin{align}
& \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1) A_kz^{k+r-2} - {1\over z} \sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-1} + \left({1\over z^2} - {1\over z}\right) \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\
& = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1) A_kz^{k+r-2} - {1\over z} \sum_{k=0}^\infty (k+r) A_kz^{k+r-1} + {1\over z^2} \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} - {1\over z} \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r} \\
& = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-1}
\end{align}

Померамо индексе последње суме, тако да се добија:


\begin{align}
& = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1) A_kz^{k+r-2} -\sum_{k=0}^\infty (k+r) A_kz^{k+r-2} + \sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2} - \sum_{k-1=0}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2} \\
& = \sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=0}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2}
\end{align}

Стартни индекс за k=0 се посебно пише, па се добија:


\begin{align}
& = ((r)(r-1)A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty (k+r)(k+r-1) A_kz^{k+r-2} - ((r) A_0z^{r-2}) - \sum_{k=1}^\infty (k+r)A_kz^{k+r-2} \\
& {} + (A_0z^{r-2})+\sum_{k=1}^\infty A_kz^{k+r-2}-\sum_{k=1}^\infty A_{k-1}z^{k+r-2} \\
& = (r(r-1)-r+1)A_0z^{r-2} + \sum_{k=1}^\infty \left( ((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_k - A_{k-1}  \right) z^{k+r-2}
\end{align}

Једно решење добијамо решавањем иницијалнога полинома r(r − 1) − r + 1 = r2 − 2r + 1 = 0, односно добијамо да је 1 двоструки корен. Користећи тај корен коефицијенти од zk + r − 2 треба да буду нула, шта даје рекурзију:

 ((k+1)(k)-(k+1)+1)A_k - A_{k-1}  =(k^2)A_k-A_{k-1}=0\,
 A_k = {A_{k-1}\over k^2}

Пошто је омер A_k/A_{k-1} рационална функција онда се ред може написати као општи хипергеометријски ред.

Литература[уреди]