Корисник:Сунсхине021

НИКВИСТ-ШЕНОНОВА ТЕОРЕМА ОДАБИРАЊА

Сл.1: Хипотетички спектар сигнала ограниченог опсега као функција фреквенције

Никвист-Шенонова теорема одабирања је суштински резултат у пољу теорије информација, телекомуникацијама и обради сигнала. Одабирање је процес конвертовања сигнала (нпр. континуалне функције у времену или простору) у бројну секвенцу (у дискретну функцију у времену или простору).

Теорема гласи: Ако функција X(т) не садржи фрекфенције веће од Бцпс, потпуно је одређена давањем својих Y компоненти серијом тачака са периодом ${\frac {1}{2B}}\$ У суштини теорема показује да аналогни сигнал, који је био одабиран, може савршено да се реконструише од одабирка, ако периода одабирка прекорачује 2Б одабирка по секунди, где је Б највећа фреквенција у оригиналном сигналу. Ако сигнал садржи компоненту на тачно Б Хз, тада одабирци који се налазе на периоди од ${\frac {1}{2B}}\$ сец не одређују потпуно сигнал, ту не важи Шенонов доказ. Новији искази ове теореме понекад изостављају стање једнакости, тј. стање ако X(т) не садржи фреквенције које су веће или једнаке Б ; овај исказ је еквивалентан Шеноновом осим ако функција садржи синусну компоненту на фреквенцији која износи Б. Неопходне предпоставке за доказ теореме формирају математички модел који представља идеализацију било које реалне ситуације. Закључак, да је савршена реконструкција могућа, је математички исправан за модел, али представља само апроксимацију стварних сигнала и самих техника одабирања. Теорема такође доводи до формуле за реконструкцију оригиналног сигнала. Конструктивни доказ теореме доводи до разумевања алиасинга који може да настане када систем одабирања задовољава услове теореме. Никвист-Шенонова теорема одабирања представља и довољан услов.

УВОД

Сигнал или функција су ограничени ако не садрже енергију на фреквенцијама већим од ширине пропустног опсега Б. Сигнал који је ограниченог опсега је ограничен онолико колико се брзо мења у времену и стога колико детаља може да пренесе у интервалу времена. Теорема одабирања тврди да једнако раздвојени дискретни одбирци представљају потпуну репрезентацију сигнала ако је ширина пропусног опсега мања од половине периоде одабирања. Нека X(т) представља сигнал непрекидан у времену, а X(ф) Фуријеову трансформацију тог сигнала

$X(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt.\$ .............(1)

Сигнал X(т) је ограничен једностраном ускопојасном пропусношћу Б. ако је:

$X(f)=0\quad$  за свако  $|{f}|>B\,$ .............(2)

или еквивалентно, X</реф>  $\subseteq$  [-Б,Б]. Тада је довољан услов за тачну реконструкцију од оригинала до униформне периоде одабирања $f_{s}\,$ :

$f_{s}>2B,\,$ .............. (3)

или

$B<{f_{s} \over 2}\,$ .............(4)

$2B\,$ се зове Нyqуист-ова мера и припада ограниченом сигналу, док је $f_{s}/2\,$ позната као Нyqуист-ова фреквенција и припада овом систему одабирања. Временски период између узастопних одбирака се назива период одабирања.:

$T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{f_{s}}},\,$ ............. (5):

а узорци од $x(t)\,$ су означени са:

$x(nT)\quad n\in \mathbb {Z} \,$(цели бројеви).............(6):

Теорема одабирања води до процедуре реконструкције оригиналног $x(t)\$ одбирка и указује на довољне услове да би таква реконструкција била тачна.

Процес одабирања

Теорема описује два процеса у обради сигнала: процес одабирања, у коме је континуални сигнал претворен у дискретни, и процес реконструкције у којем је оригинални континуални сигнал праћен од дискретног сигнала.

Континуални сигнал временом се мења и процес одабирања се врши мерењем вредности сигнала сваких Т периода времена, које се називају периоде одабирања. У пракси, за сигнале које су у функцији времена, периода одабирања је веома мала ( реда мили, микро или мање секунди ). Ово доводи до низа бројева

Споменице и захвалнице

100 измена

35%