Дуална импеданса

Дуална импеданса и дуална мрежа су термини који се користе у анализи електричне мреже. Дуална импеданса $Z\,\!$ је алгебарска реципрочна вредност $Z'={\frac {1}{Z}}$. Треба обратити пажњу да су $Z\,$ и $Z'\,$ коњугационо комплексни, тј они су реципрочни. Због тога се дуална импеданса често зове и инверзна импеданса. Дуал мреже импеданси је она мрежа чија је импеданса $Z'\,\!$. У случају да мрежа има више од једног улаза импеданса, ако се узме у обзир сваки од улаза, мора истовремено да буде дуал.

Други начин да се ово изрази је рећи да је дуалност $Z\,\!$ адмитанса $Y=Z\,\!$.

Ово је у складу са дефиницијом дуалности за кола чији напони и струја су међусобно замењиви. Пошто је $Z={\frac {V}{I}}$ и $Z'={\frac {1}{Z}}={\frac {I}{V}}$

Уравнотежени и нормализовани дуали

У пракси је пожељно наћи дуал импедансе у односу на неку номиналну или карактеристичну импедансу. Да би се то урадило , З и З' се пропорционално постављају према номиналној импеданси З₀ тако да;

${\frac {Z'}{Z_{0}}}={\frac {Z_{0}}{Z}}$

З₀ се најчешће сматра чисто реалним бројем Р₀, па се З' мења само реалним фактором Р₀². Другим речима дуал остаје квалитативно исто коло али све вредности компоненте морају бити квантитативно пропорционално промењене за Р₀². Компонента Р₀². се изражава у облику Ω². Из овога следи да константи 1 у непропорционалном изразу такође треба да буде додељена величина Ω² у било којој димензионалној анализи.

Дуалност основних елемената кола

Елемент	З	Дуал	З'
Отпорник Р	$R\,\!$	Проводник Г = Р	${\frac {1}{R}}$
Проводник Г	${\frac {1}{G}}$	Отпорник Р = Г	$G\,\!$
Пригушница L	$i\omega L\,\!$	Кондензатор C = L	${\frac {1}{i\omega L}}$
Кондензатор C	${\frac {1}{i\omega C}}$	Пригушница L = C	$i\omega C\,\!$
Серија импенданси З = З1 + З2	$Z_{1}+Z_{2}\,\!$	Паралелне адмитансе Y = З1 + З2	${\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}}}$
Паралелне импедансе 1/З = 1/З1 + 1/З2	$Z={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$	Серија админтанси 1/Y = 1/З1 + 1/З2	${\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}$
Генератор напона V		Генератор струје I = V
Генератор струје I		Генератор напона V = I

Графички метод

Постоји графички метод да се добије дуал мреже који је често лакши за употребу од математичких израза импедансе. Почевши са дијаграмом кола мреже о којој је реч, З, следећи кораци се изводе на дијаграму да се добије З' цртањем преко дијаграма З. Најчешће З’ бива цртано другом бојом ради лакшег разликовања од оригинала или коришћењем ЦАД-а, З’ се може уцртати на другом слоју.

1. А Генератор се повезује са сваким улазом оригиналне мреже. Сврха овог поступка је спречавање “губљења” улаза у процесу инверзије. То се дешава зато што ће улаз који је остављен отворен у колу довести до кратког споја и нестати.
2. А Тачка се црта у средини сваке подмреже мреже З. Ове тачке ће постати чворови кола З’
3. А Црта се проводник који у потпуности обухвата мрежу З. Овај проводник такође постаје чвор за З’.
4. За сваки елемент кола З, његов дуал се црта између чворова у центру подмрежа са сваке стране З. Када је З на ивици мреже један од ових чворова ће бити свеобухватни проводник из претходног корака.

Ово комплетира цртеж З’. Овај метод такође служи да би се приказало да се дуал подмреже трансформише у чвор и да се дуал чвора трансформише у подмрежу. Два корисна примера су дата испод, оба примера илуструју процес и дају даље примере дуала мрежа

Пример – мрежа у облику звезде

Мрежа калема у облику звезде индуцторс, каква се може наћи на трофазном трансформатору.	Привезивање генератора на три улаза.	Компоненте дуала мреже.
Компоненте дуалне мреже	Дуал мреже са укљоњеним оригиналним цртежом и благо преправљеним да би се топологија јасније видела.	Дуална мрежа са уклоњеним генератором

Сада је јасно да је дуал мреже калема у облику звезде једнак делти мреже кондензатора. Овај дуал кола није исти што и делта трансформације кола у облику звезде (Y - ∆). Y - ∆ трансформација доводи до еквивалентног кола, а не до дуала кола.

Пример – Кауерова мрежа

Филтери прављени коришћењем Кауерове топологије у првом нацрту су нископропусни филтери који се састоје од лествичасте мреже низа проводника и паралелних кондензатора

Нископропусни филтер унесен у Кауерову топологију

Причвршћивање генератора на улазе за инпут и аутпут

Чворови дуала мреже

Компоненте дуала мреже

Дуал мреже где је оригинал уклоњен и цртеж благо преправљен да би се топологија јасније видела

Сада се може видети да је дуал Кауеровог нископропусног филтера и даље Кауеров нископропусни филтер. Он се не трансформише у високопропусни филтер како се могло очекивати. Ипак треба обратити пажњу да је први елемент сада паралелна компонента уместо серије компоненти.

Види још

• Топологија (електрична кола)

Литература

• Redifon Radio Diary, 1970, pp. 45–48, William Collins Sons & Co, 1969.
• Ghosh, Smarajit, Network Theory: Analysis and Synthesis, Prentice Hall of India
• Guillemin, Ernst A., Introductory Circuit Theory, New York: John Wiley & Sons, 1953 OCLC 535111
• Suresh, Kumar K. S., "Introduction to network topology" chapter 11 in Electric Circuits And Networks, Pearson Education India, 2010 ISBN 978-81-317-5511-2