Nekoliko Kasinijevih ovala. (c=0.6a , 0.8a , a , 1.2a , 1.4a , 1.6a ) Kasinijev oval je kriva četvrtoga reda, koja se može definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje zadovoljavaju uslov da je konstantan proizvod njihove razdaljine od dve fiksne tačke. Kriva je imenovana prema astronomu Đovaniju Domeniku Kasiniju , koji ju je proučavao 1680 . Kasini je je pogrešno smatrao da ta kriva tačnije predstavlja kretanje Zemlje.
Neka su
q
1
{\displaystyle q_{1}}
q
2
{\displaystyle q_{2}}
q
1
{\displaystyle q_{1}}
q
2
{\displaystyle q_{2}}
q
1
{\displaystyle q_{1}}
q
2
{\displaystyle q_{2}}
a 2 tj:
dist
(
q
1
,
p
)
×
dist
(
q
2
,
p
)
=
a
2
.
{\displaystyle \operatorname {dist} (q_{1},p)\times \operatorname {dist} (q_{2},p)=a^{2}.\,}
Neka su fokusi u
F
1
(
−
c
;
0
)
{\displaystyle F_{1}(-c;0)}
F
2
(
c
;
0
)
{\displaystyle F_{2}(c;0)}
M
(
x
;
y
)
{\displaystyle M(x;y)}
a
2
{\displaystyle a^{2}}
(
x
+
c
)
2
+
y
2
⋅
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
a
2
{\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}}
Kvadriramo li obe strane dobijamo:
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
⋅
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
=
a
4
{\displaystyle \textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}}
Sredimo li levu stranu dobijamo:
(
x
2
−
c
2
)
2
+
y
4
+
2
y
2
(
x
2
+
c
2
)
=
a
4
{\displaystyle \textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}}
Iskvadriramo li i ponovo složimo članove dobijamo:
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
c
2
(
x
2
−
y
2
)
=
a
4
−
c
4
{\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}
što predstavlja Kasijev oval u pravougaonim koordinatama.
Pođemo li od oblika u pravougaonim koordinatama:
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
c
2
(
x
2
−
y
2
)
=
a
4
−
c
4
{\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}
i uvrstivši
x
=
ρ
cos
φ
,
y
=
ρ
sin
φ
,
{\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,}
(
ρ
2
cos
2
φ
+
ρ
2
sin
2
φ
)
2
−
2
c
2
(
ρ
2
cos
2
φ
−
ρ
2
sin
2
φ
)
=
a
4
−
c
4
{\displaystyle {\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c^{4}}
Menja se parametar
a
{\displaystyle a}
Menja se parametar
c
{\displaystyle c}
Nakon kvadriranja i uz pomoć trigonometrijskih jednačina dobija se:
ρ
4
−
2
c
2
ρ
2
(
c
o
s
2
φ
−
sin
2
φ
)
=
a
4
−
c
4
{\displaystyle \textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}}
a onda uz pomoć (
cos
2
α
−
sin
2
α
=
c
o
s
2
α
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha }
ρ
4
−
2
c
2
ρ
2
cos
2
φ
=
a
4
−
c
4
{\displaystyle \textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}}
Jednačina Kasinijevoga ovala ima dva nezavisna parametra;
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
Međusobni odnos parametara određuje oblik Kasinijevoga ovala, tako da postoji više različitih oblika u zavisnosti od kvocijenta dva parametra:
c
a
=
∞
{\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=\infty }
1
<
c
a
<
∞
{\displaystyle \textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty }
c
a
=
1
{\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=1}
a
=
c
{\displaystyle \textstyle a=c}
Bernulijevu lemniskatu
1
2
<
c
a
<
1
{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1}
c
<
a
<
c
2
{\displaystyle \textstyle c<a<c{\sqrt {2}}}
0
<
c
a
⩽
1
2
{\displaystyle \textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
a
⩾
c
2
{\displaystyle \textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}}
c
a
=
0
{\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=0}
c
=
0
{\displaystyle \textstyle c=0}
a
≠
0
{\displaystyle \textstyle a\neq 0}
Radijus zakrivljenosti u polarnim koordinatama je:
R
=
a
2
ρ
ρ
2
+
c
2
cos
2
φ
=
2
a
2
ρ
3
c
4
−
a
4
+
3
ρ
4
{\displaystyle R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}}
