Kleroova jednačina

Kleroova jednačina je linearna diferencijalna jednačina prvog reda. Dobila je ime po matematičaru Aleksisu Klerou koji ju je prvi rešio. Ova jednačina je specijalan slučaj Lagranžove jednačine.

Oblika je

$y=xy'+f(y')$,

odnosno

$y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Rešenja Kleroove jednačine

Diferenciranjem po x dobija se jednakost

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

odakle je, posle skraćivanja i grupisanja

$0=\left(x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

Ovaj proizvod je jednak nuli ako je

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

ili

$x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.$

U prvom slučaju je dy/dx=C za neku konstantu C. Ako ovo zamenimo u Kleroovu jednačinu, dobićemo familiju funkcija koje su zadate sa

$y(x)=Cx+f(C),\,$

što je opšte rešenje Kleroove jednačine.

Druga jednakost,

$x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.$

ima samo jedno rešenje y(x), koje se naziva singularnim, a čiji je grafik omotač svih grafika opšteg rešenja. Singularno rešenje se obično zapisuje u parametarskom obliku (x(p), y(p)), gde je sa p označeno dy/dx.