Logika prvog reda ili predikativni račun prvog reda je formalni sistem koji se koristi u matematici, filozofiji, lingvistici i računarstvu. Ovde ćemo izložiti samo osnovni i najformalniji deo nužan kao potpora člancima teorije skupova.
Logika prvog reda ili predikatska logika prvog reda se bazira na:
- objektima,
- svojstvima (unarnim predikatima nad objektima),
- relacijama (n-arnim predikatima nad objektima),
- funkcijama (preslikavanjima objekata na objekte).
Исказ → ПростИсказ
|Исказ Свеза Исказ
|Квантификатор Променљива Исказ
|¬ Реченица
|(Реченица)
ПростИсказ → Предикат(Објект, Објект, ...)
| Објект = Објект
Објект = Функција(Објект, Објект, ...)
| Константа
| Променљива
Свеза → ![{\displaystyle \lor |\land |\Rightarrow |\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b1b66b7ff4e2b11cc3546c37805b42d923c970)
Квантификатор →
Константа → <tekst> тј. "A" | "1" | "а"
Променљива → x | y | z |...
Предикат → otac| brat| poseduje| ...
Функција → saberi| predji|...
Objekti su:
konstante: <tekst>, tj. 0, 1, "a", "ababa"
imena funkcija:
tj. ![{\displaystyle \operatorname {predji} (a,b,...),\operatorname {predji} (a),\operatorname {saberi} (0),\operatorname {saberi} (0,1),...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8b11bc8f0eff6a78b13412eef27f0e6adffd33)
Iskaz je predikat nad jednim ili više objekata. Predikat je neko svojstvo ili relacija među objektima koji može biti istinit ili lažan.
U gornjim primerima
znači da
imaju zajedničkog oca,
da su
braća.
ProstIskaz je predikat primenjen na objekte. Npr.
тј. Перо поседује ауто,
тј, Мујо и Суљо су браћа.
Semantika Iskaza i ProstogIskaza je istina ili laž.
Sveze se koriste pri konstrukciji (složenih) Iskaza
тј. Мујо и Суљо су браћа, Мујо има ауто а Суљо нема.
Koriste se ako se Iskaz odnosi na kolekciju objekata kako bi se izbeglo brojanje objekata
- Univerzalni kvantifikatorr:
![{\displaystyle \forall x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3fa2fb002baecbc5038bd3dd42bab57448b315)
Iskaz je istinit za sve vrednosti promenljive x.
Сви пси су сисари
- Egzistencijalni kvantifikator:
![{\displaystyle \exists x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab833914405cde960b3b9af3feaa9e4fef96ffa9)
Iskaz je istinit za bar jednu vrednost promenljive x.
Марија има (бар једну) мачку црне боје
На овом свету постоји бар једна особа која воли псе и мрзи мачке
- Univerzalni kvantifikator se koristi implikativno
Све на овом свету је човек и сисар
- Egzistencijalni kvantifikator se koristi vezivno:
На овом свету има нешто што Јован не поседује или постоји на овом свету пас
- Poredak kvantifikatora istog tipa u iskazu je nevažan
- Poredak kvantifikatora različitog tipa u iskazu je nevažan
Свако воли некога, тј. свако има неког кога воли
Постоји на овом свету неко кога свако воли
- Područje ili zona važenja promenljive je iskaz na koji je kvantifikator primenljiv.
- Promenljiva u logičkom izrazu se vezuje za najbliži kvantifivator unutar iskaza u kome se pojavljuje
Пси постоје и сви су жути.
у
је универзално квантифициран.
- U dobro napisanoj formuli sve promenljive moraju biti kvantifikovane:
Ова формула није добро написана
- Logička veza među univerzalnim i egzistencijalnim kvantifikatorom:
![{\displaystyle \forall x\neg \operatorname {voli} (x,bandit)\Leftrightarrow \neg \exists x\operatorname {voli} (x,bandit)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01b4b9ac3a1822e2cfb8edd6fce1aab313a3583)
![{\displaystyle \forall x\neg P\Leftrightarrow \neg \exists xP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc23a28aafea123aa6ccc391c6e18a6c7cb0e934)
![{\displaystyle \neg \forall xP\Leftrightarrow \exists x\neg P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b7bccb5d50285acc7430e95a6172c69cb58c3f)
![{\displaystyle \forall xP\Leftrightarrow \neg \exists x\neg P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71192344846f7b1b0b844993d54f472ac781d118)
![{\displaystyle \exists xP\Leftrightarrow \neg \forall x\neg P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef59c43e7ad406016e20bd71f47f7dae10cb74d)
![{\displaystyle \forall xP(x)\land Q(x)\Leftrightarrow \forall xP(x)\land \forall xQ(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e2a9a0327e054cac5efa3b6574ee85c9a3699a)
- Jednakost se uključuje kao primitivni logički predikat.
- Primeri:
Јован има два пса. Једнакост се користи овде да се обезбеди да су
и
различити, тј. да се искључи интерпретација да
и
могу бити исти пас
Сваки син има оца. Друга свеза
обезбеђује да сваки син има једног оца.
- U logici prvog reda kvantifikatori su primenljivi samo na objekte.
- U logici drugog reda kvantifikatori su primenljivi samo na predikate i funkcije:
Два објекта су једнака ако и само ако имају иста својства.
Две функције су једнаке ако и само ако имају исте вредности за све могуће аргументе.
- Logika trećeg reda dopušta kvantifikaciju predikata, itd.
Na primer, predikat drugog reda
može biti
tj. binarni predikat
je relacija refleksivnosti.
- Raymond M. Smullyan: First-order Logic, Courier Corporation, 1995
- Leigh S. Cauman: First-order Logic: An Introduction, Walter de Gruyter, 1998