Решавање троугла — разлика између измена

Садржај обрисан Садржај додат

Инлајн

Верзија на датум 17. фебруар 2006. у 00:12

Решавање троугла значи налажење преосталих углова и страница када је дат минимум података. Основни елементи троугла су три угла и три странице, а минимум података, чине три од тих основних елемента, од којих је најмање један страница. Наиме, када знамо два угла троугла тада можемо сматрати да знамо и трећи, јер је збир углова у троуглу увек исти, 180°. Међутим, троугао није одређен само својим основним елементима. Могуће је конструисати троугао дат тежишницом (медијаном) и двема страницама, или страницом, висином и углом, итд.

Оштроугли троугао

Оштроугли троугао има сва три угла мања од испруженог (180 степени). При решавању оштроуглог троугла могућа су следећа четири случаја:

дате су три стране (ССС);
дате су две стране и угао између њих (СУС);
дата су два угла и страница између њих (УСУ);
дате су две стране и угао насупрот њима (ССУ).

То су они исти услови који дефинишу подударност троуглова. Размотрићемо сваки од ових задатака и навести бар по једну формулу за проверу добивеног решења.

Задатак ССС: Дате су три странице $a,\;b,\;c$ троугла. Наћи његове углове.
1. начин: Косинусна теорема $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,$ даје угао А, јер $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$ Синусна теорема $a:\sin A=b:\sin B$ даће даље угао B, јер је $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}.$ На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент (суплементни углови се допуњавају до 180°) претходна два, тј. $C=180^{o}-(A+B).$ Формула за проверу је $a:sinA=c:\sin C.$

2. начин: Израчунати полуобим троугла $p={\frac {a+b+c}{2}},$ разлике $p-a,\;p-b,\;p-c,$ затим тангенсна теорема даје углове:; $\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.$; Формула за проверу је $A+B+C=180^{o}.$

Овај задатак има јединствено решење једино ако су збирови по две од датих страница троугла већи од треће странице, тј. $a+b>c,\;b+c>a,\;c+a>b.$ Дакле, ако важи тзв. неједнакост троугла. Ако бар један од ових услова није испуњен тада уопште нема решења.

Видети даље

@@ Ред 8: / Ред 8: @@
 # дате су две стране и угао насупрот њима (ССУ).
-То су они исти услови који дефинишу [[подударност троуглова]].
+То су они исти услови који дефинишу [[подударност троуглова]]. Размотрићемо сваки од ових задатака и навести бар по једну формулу за проверу добивеног решења.
 ; Задатак ССС: Дате су три странице <math>a,\;b,\;c</math> троугла. Наћи његове углове.
-; 1. начин: [[Косинусна теорема]] <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,</math> даје угао А, јер <math>\cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.</math> [[Синусна теорема]] <math>a:\sin A=b:\sin B</math> даће даље угао B, јер је <math>\sin B=\frac{b\sin A}{a}.</math> На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент (суплементни углови се допуњавају до 180°) претходна два, тј. <math>C=180^o-(A+B).</math>
+; 1. начин: [[Косинусна теорема]] <math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,</math> даје угао А, јер <math>\cos A =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.</math> [[Синусна теорема]] <math>a:\sin A=b:\sin B</math> даће даље угао B, јер је <math>\sin B=\frac{b\sin A}{a}.</math> На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент ([[суплементни углови]] се допуњавају до 180°) претходна два, тј. <math>C=180^o-(A+B).</math> Формула за проверу је <math>a:sin A=c:\sin C.</math>
+; 2. начин: Израчунати полуобим троугла <math>p=\frac{a+b+c}{2},</math> разлике <math>p-a,\; p-b,\; p-c,</math> затим [[тангенсна теорема]] даје углове:
+: <math>\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}.</math>
+: Формула за проверу је <math>A+B+C=180^o.</math>
+Овај задатак има јединствено решење једино ако су збирови по две од датих страница троугла већи од треће странице, тј. <math>a+b>c,\; b+c>a,\; c+a>b.</math> Дакле, ако важи тзв. [[неједнакост троугла]]. Ако бар један од ових услова није испуњен тада уопште нема решења.
 == Видети даље ==