Математика

Из Википедије, слободне енциклопедије
Еуклид (држећи шублер), грчки математичар, 3. век п. н. е., по замисли Рафаела на слици Атенска школа.[1][2]

Математика (грч. μαθηματική што значи учење)[3] је формална и егзактна наука која је настала изучавањем фигура и рачунањем с бројевима.[4]

Иако не постоји општеприхваћена дефиниција математике, под математиком се у ширем смислу подразумева да је она наука о количини (аритметика), структури (алгебра), простору (геометрија) и промени (анализа).[5]

Математика је наука која изучава аксиоматски дефинисане апстрактне структуре користећи логику.[6] Изучаване структуре најчешће потичу из других природних наука, најчешће физике, али неке од структура су дефинисане и изучаване ради интерних разлога.[7][8][9]

Историјски, математика се развила из потребе да се обављања прорачуна у трговини, вршење мерења земљишта и предвиђање астрономских догађаји. Ове три почетне примене математике се могу довести у везу са грубом поделом математике на изучавање структуре, простора и промена.[10][11]

Изучавање структуре почиње са бројевима, у почетку са природним бројевима и целим бројевима.[4] Основна правила за аритметичке операције су дефинисана у основној алгебри а додатна својства целих бројева се изучавају у теорији бројева. Изучавање метода за решавање једначина је довело до развоја апстрактне алгебре која између осталог изучава прстенове и поља, структуре које генерализују особине које поседују бројеви.[12] Физички важан концепт вектора се изучава у линеарној алгебри.

Изучавање простора је почело са геометријом, прво Еуклидовом геометријом и тригонометријом у појмљивом тродимензионалном простору, али се касније проширила на нееуклидске геометрије које имају централну улогу у општој релативности. Модерна поља геометрије су диференцијална геометрија и алгебарска геометрија. Теорија група изучава концепт симетрије, и представља везу у у изучавању простора и структуре. Топологија повезује изучавање простора и измјене фокусирајући се на концепт континуитета.

Разумевање и описивање измена мерљивих промерљивих је главна карактеристика природних наука, и диференцијални рачун је развијен у те сврхе.[13] Централни концепт којим се описује промена варијабле је функција. Многи природни проблеми су водили успостављању везе између вредности и количине измене, и методи развијени при томе, се изучавају у диференцијалним једначинама. Бројеви који представљају континуалне величине су реални бројеви, и детаљно изучавање њихових својстава и функција је предмет анализе. Због математских разлога, уведен је концепт комплексних бројева који се изучавају у комплексној анализи. Функционална анализа је сконцетрисана на n-димензионалне просторе функција постављајући тиме основу за изучавање квантне механике.[14]

Ради појашњавања и изучавања основа математике, развијене су области теорија скупова, математичка логика и теорија модела.

Важна област примјењене математике је вјероватноћа и статистика која се бави изучавањем и предвиђањем случајности и случајних појава. Нумеричка анализа изучава нумеричке методе израчунавања а дискретна математика је заједничко име за области математике које се користе у рачунарским наукама.

Области проучавања[уреди]

Наука о бројевима[уреди]

Математика се бави проучавањем бројева. Њиховим проучавањем је започето и проучавање структура. Од свих скупова бројева, најпре су формирани и проучавани природни бројеви, а затим цели бројеви. Формирани су реални бројеви, као бројеве који представљају континуалне величине. Из математичких разлога уведен је концепт комплексних бројева.

Природни бројеви Цели бројеви Рационални бројеви Реални бројеви Комплексни бројеви

Алгебра[уреди]

За више информација погледајте: Алгебра

Математика се бави проучавањем структура (математичких структура), које спадају у грану математике - алгебру.

Алгебра обухвата:

Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
комбинаторика Теорија бројева Теорија група Теорија графова Теорија низова Алгебра

Изучавање структура је започето проучавањем бројева.[15] На почетку су формирани и проучавани природни бројеви и цели бројеви. Основна правила за аритметичке операције су дефинисана у основној алгебри а додатна својства целих бројева се изучавају у теорији бројева. Изучавање метода за решавање једначина је довело до развоја апстрактне алгебре која првенствено изучава прстенове и поља, тј. структуре које генерализују особине које поседују бројеви. Важан физички концепт вектора изучава се у линеарној алгебри. Ради појашњавања и изучавања основа математике, развијене су области теорија скупова, математичка логика и теорија модела.

Геометрија[уреди]

За више информација погледајте: Геометрија

Математика се бави проучавањем простора, који спада у грану математике - геометрију.

Геометрија обухвата:

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration.png
Геометрија Тригонометрија Диференцијална геометрија Топологија Фрактална геометрија Теорија мера

Изучавање простора је започело са геометријом. Најпре је настала Еуклидска геометрија и тригонометрија у појмљивом тродимензионалном простору, која се касније проширила на нееуклидске геометрије које имају централну улогу у општој релативности. Модерна поља геометрије су диференцијална геометрија и алгебарска геометрија. Теорија група изучава концепт симетрије. Топологија изучава структуре у простору и њихове измене при непрекидним пресликавањима.[16]

Анализа[уреди]

За више информација погледајте: Математичка анализа

Математика се бави проучавањем бесконачно малих промена, које спадају у грану математике - математичку анализу.

Анализа обухвата[17]:

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg Conformal grid after Möbius transformation.svg
Анализа Векторска анализа Диференцијална анализа Динамички системи Теорија хаоса Комплексна анализа

Теорија диференцијалног рачуна је развијена из потреба природних наука за разумевањем и описивањем промена које се изврше код мерљивих варијабли. Централни концепт којим се описује промена варијабле је функција. Многи природни проблеми су водили успостављању везе између вредности и количине измене. Методе које су развијене за описивање и проучавање оваквих проблема се изучавају у теорији диференцијалних једначина. Бројеви који представљају континуалне величине су реални бројеви, и детаљно изучавање њихових својстава и функција је предмет математичке анализе.[18] Због математичких разлога, уведен је концепт комплексних бројева који се изучавају у комплексној анализи. Функционална анализа је усмерена на анализирање n-димензионалних простора функција постављајући тиме основу за изучавање квантне механике.

Примењена математика[уреди]

Примењена математика користи сазнања из математике како би дошла до решења стварних проблема.

Примењена математика обухвата:

Gravitation space source.png BernoullisLawDerivationDiagram.svg Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Caesar3.svg
Математичка физика Динамика флуида Нумеричка анализа Оптимизација Теорија вероватноће Статистика Криптографија
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Arbitrary-gametree-solved.svg Signal transduction pathways.svg Ch4-structure.png GDP PPP Per Capita IMF 2008.png Simple feedback control loop2.svg
Финансијска математика Теорија игара Математичка биологија Математичка хемија Математичка економија Теорија контроле

Важна област примењене математике су вероватноћа и статистика које се баве изучавањем и предвиђањем случајности и случајних појава. Нумеричка анализа изучава нумеричке методе израчунавања, а дискретна математика је заједничко име за области математике које се користе у рачунарским наукама.[19]

Историја математике[уреди]

За више информација погледајте: Историја математике

Историја математике се сматра стално растућом серијом апстракција. Прва апстракција, коју деле многе животиње,[20] су вероватно били бројеви: реализација да колекције од две јабуке и колекција од две поморанџе (на пример) има нешто заједничко, наиме квантитет њихових чланова.

Грчки математичар Питагора (c. 570 – c. 495 п. н. е.), који је открио Питагорину теорему

Као што то потврђују штапићи за бројање нађених на костима, осим способности да бројања физичких објеката, могуће је да су праисторијски људи исто тако могли да броје апстраткне квантитете, попут времена – дана, сезона, година.[21]

Доказ за комплекснију математику се не јављају до око 3000 п. н. е., кад Вавилонци и Египћани почињу да користе аритметику, алгебру и геометрију за опорезивање и друре финансијске прорачуне, за градњу и конструкцију, и за астрономију.[22] Најранија употреба математике је била у областима трговине, мерења земљишта, сликања и ткалачким обрасцима и записивању времена.

У вавилонској математици елементарна аритметика (сабирање, одузимање, множење и дељење) су се најраније појавили судећи по археолошким рекордима. Рачунање предатира писање. Вројевни системи су били многобројни и разноврсни. Прве познате записане бројеве су оставили Египћани у текстовима током Средњег краљевства као што је Ахмесов папирус.[23]

Између 600 и 300 п. н. е. Стари Грци су почели систематско изучавање математике.[24]

Персјаки математичар ел Хорезми ( c. 780–c. 850 ), изумитељ алгебре.

Током Златног доба ислама, а посебно током 9. и 10. века, математичари су произвели мноштво важних иновација градећи на темељима грчке математике: највећи део тих открића су доприноси персијских matematiчара као што су ел Хорезми, Омар Хајам и Шараф ел Дин ел Туси.

Све до краја 16. века главне гране математике биле су геометрија, и аритметика. У 16. веку почела се развијати алгебра, а у 17. веку стварање диференцијалног и интегралног рачуна означило је почетак интензивног развоја анализе, који је свој врхунац постигао у 18. веку. Настале Теорије диференцијалних једначина постале су важно средство у испитивању закона природе у класичној и небеској механици.

Појавом нееуклидских геометрија, математичке логике и теорије скупова у 19. веку започета је критичка ревизија до тада изграђених математичких теорија, што је битно утицало на карактер, методе и начине развоја математике 20. век. У 20. веку, постојеће области су се прошириле, а развијене су и нове области, као што су теорија вероватноће, статистика, топологија, апстрактна алгебра и друге.

Примена математике[уреди]

Данас се математика јако развила и има примене у много грана, како природних, тако и друштвених наука. Важна грана примењене математике је Статистика (стохастичка математика), која се бави изучавањем и предвиђањем случајности и случајних појава. Нумеричка математика изучава нумеричке методе израчунавања, а дискретна математика је заједничко име за више грана математике која се великим делом користе као алати у рачунарским наукама. Развијена је и математичка теорија рачунарства, као и низ других интердисциплинарних грана.

Математика и остале науке[уреди]

Такође се прилично често показало да развој математике не мора нужно пратити развој физике или неке друге "конкретније" знаности, то јест математика се може развијати „сама за себе“", а примјена онога што се добије већ се нађе током година развоја других наука (примери за то нису одвише једноставни, али, рецимо, Риманов простор је један пример за то - развио се сам по себи, а примену је нашао тек у теорији релативности)

Математика у цитатима[уреди]

  • "Не би ли се музика могла описати као математика осећаја, а математика као музика разума? Њихов дух је исти. Тако музичар осећа математику, а математичар мисли музику. Једна ће појачати осећај другој кад заса људски ум подигнут у савршенство.", Владимир Девиде
  • "Математика није нипошто досадна или без маште, већ напротив, попут племените дјевојке која узвраћа љубав оном ко је воли и разуме", Владимир Девиде
  • "Свим људима нису све ствари потребне, али је рачун не само свима него и свакоме јако потребан. Ко рачунати или барем бројити не зна, мора се избрисати из броја свих људи, иначе нема пријатељства међу трговцима, ни љубави међу суседима, ни слуге у општини, нити праведност у правди стално становати може!", Платон
  • "Математика је симбол наше интелектуалне снаге и јамства да ће се људски ум увек борити за узвишене циљеве", Данило Блануша
  • "Знање којем тежи геометрија је знање о вечноме.", Платон

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Портрет или опис Еуклидовог физичког изгледа направљен током његовог живота није сачуван. Стога Еуклидов приказ у уметиничким радовима зависи од уметникове маште.
  2. „Claire Voisin, Artist of the Abstract”. .cnrs.fr. Приступљено 13. 10. 2013. 
  3. „mathematic”. Online Etymology Dictionary. 
  4. 4,0 4,1 „mathematics, n.. Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Приступљено 16. 6. 2012. »The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.« 
  5. Кратка историја математике, Елементаријум, Научнопопуларни портал Центра за промоцију науке, Приступљено 2.11.2013.
  6. Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (1998). „Abstract representations of numbers in the animal and human brain”. Trends in Neuroscience. 21 (8): 355—361. PMID 9720604. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. 
  7. LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Reed, Iris B.; Carpenter, Laurel R.; Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. стр. 2. ISBN 978-1-4390-4957-0. »Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.« 
  8. Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. стр. 2.10. ISBN 978-0-07-066753-2. »The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.« 
  9. Ziegler, Günter M. (2011). „What Is Mathematics?”. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. стр. 7. ISBN 978-3-642-19532-7. 
  10. Heath (1981)
  11. Franklin, James (2009). „Philosophy of Mathematics”. Ур.: A.D. Irvine. Philosophy of Mathematics. Elsevier. стр. 104. ISBN 978-0-08-093058-9. 
  12. Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. стр. 4. ISBN 978-0-486-41712-7. »Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.« 
  13. Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library). 1996. ISBN 978-0-7167-5047-5.
  14. Lynn Steen (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–616. And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development, www.ascd.org.
  15. About.com Mathematics, Дефиниција алгебре, Приступљено 7.11.2013.
  16. Wolfram MathWord, О геометрији, Приступљено 7.11.2013.
  17. Wolfram MathWord, Термин и области проучавања анализе, Приступљено 7.11.2013.
  18. MIT Оpen Course, Подручје проучавања Основне анализе, Приступљено 7.11.2013.
  19. Applied Mathematics, University of Washington, О примењеној математици, Приступљено 7.11.2013.
  20. Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (1998). „Abstract representations of numbers in the animal and human brain”. Trends in Neuroscience. 21 (8): 355—61. PMID 9720604. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. 
  21. See, for example, Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim
  22. Kline 1990, Chapter 1.
  23. -{Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Gillings, 1972, Dover Publications, New York,}. ISBN 978-0-486-24315-3.
  24. Heath, Thomas Little (1981). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. ISBN 978-0-486-24073-2. 

Литература[уреди]

  • Ziegler, Günter M. (2011). „What Is Mathematics?”. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. стр. 7. ISBN 978-3-642-19532-7. 
  • Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. стр. 2.10. ISBN 978-0-07-066753-2. »The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.« 
  • LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Reed, Iris B.; Carpenter, Laurel R.; Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. стр. 2. ISBN 978-1-4390-4957-0. »Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.« 
  • Courant, Richard and Herbert Robbins (1996). What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18). ISBN 978-0-19-510519-3. 
  • Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G.B. Jeffery, D.Sc., and W. Perrett, Ph.D). E.P. Dutton & Co., New York. 
  • Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics, BBC Radio 4 (2010).
  • Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Sixth Edition, Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4. 
  • Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1). ISBN 978-0-19-506135-2. 
  • Monastyrsky, Michael (2001). „Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal” (PDF). Canadian Mathematical Society. Приступљено 28. 7. 2006. 
  • Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press. 1989. ISBN 978-0-19-861186-8.
  • The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 978-0-19-861112-7.
  • Pappas, Theoni. The Joy Of Mathematics. Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 978-0-933174-65-8. 
  • Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ур. „Linear associative algebra”. American Journal of Mathematics (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph изд.). Johns Hopkins University. 4 (1–4): 97—229. JSTOR 2369153. doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. .
  • Peterson, Ivars (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books. ISBN 978-0-8050-7159-7. 
  • Popper, Karl R. (1995). „On knowledge”. In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 978-0-415-13548-1. 
  • Riehm, Carl (2002). „The Early History of the Fields Medal” (PDF). Notices of the AMS. AMS. 49 (7): 778—782. 
  • Sevryuk, Mikhail B. (2006). „Book Reviews” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101—109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Приступљено 24. 6. 2006. 
  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [first published 1856]. Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ. 
  • Benson, Donald C. (2000). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14). ISBN 978-0-19-513919-8. 
  • Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. Wiley; 2nd edition, revised by Uta C. Merzbach, (March 6). ISBN 978-0-471-54397-8. —A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
  • Davis, Philip J. and Reuben Hersh (1999). The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14). ISBN 978-0-395-92968-1. 
  • Gullberg, Jan. Mathematics – From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 978-0-393-04002-9. 
  • Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online.
  • Jourdain, Philip E. B. (2003). The Nature of Mathematics. in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7. 
  • Maier, Annaliese, At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press, 1982.
  • Ali Akbar Velajati (2016). Istorija kulture i civilizacije islama i Irana (Preveo s persijskog dr Muamer Halilović). Centar za religijske nauke „Kom”. Beograd (pp. 209-259.)

Спољашње везе[уреди]