Линеарна једначина

Пример графикона линеарних једначина са две променљиве.

У математици, линеарна једначина је једначина која се може поставити у облику

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+c=0,$

где су $x_{1},\ldots ,x_{n}$ променљиве или непознате, а $c,a_{1},\ldots ,a_{n}$ су коефицијенти, који су често реални бројеви, али могу бити параметри, или чак било који израз који не садржи непознате. Другим речима, линеарна једначина се добија једначењем линеарног полинома са нулом. Решења такве једначине су вредности које, када се замене непознатим, чине једнакост тачном.

Решења линеарне једначине у променљивим n формирају хиперраван (димензије n – 1) у Еуклидовом простору димензије n.

Линеарна једначина са једном непознатом

Линеарна једначина са једном непознатом се може написати у општем облику:

$a\cdot x=b$

Случај једне непознате је од посебног значаја и често се линеарна једначина имплицитно односи на овај посебан случај.

Решење линеарне једначине облика $a\cdot x+b=0$ је сваки број $x_{0}$ такав да важи $a\cdot x_{0}=b$.

За решење линеарне једначине облика $a\cdot x=b$ важи следеће:

• ако је $a\neq 0$, решење је облика $x=-{\frac {b}{a}}$
• ако је $a=b=0$ једначина постаје $0\cdot x=0$ , и она има бесконачно много решења
• ако је $a=0,b\neq 0$ једначина нема решења, јер множењем непознате $x$ нулом не може настати број различит од нуле.

Еквивалентне једначине

Еквивалентне линеарне једначине су оне једначине које имају исти скуп решења.

Две једначине A(x) и B(x) су еквивалентне ако свако решење једначине A(x) је уједно и решење једначине B(x) и обрнуто, ако је свако решење једначине B(x) уједно решење једначине A(x).

Типови еквивалентних трансформација за једнакост А(x) = B (x) су:

• $A-c=B-c$
• $A+c=B+c$
• $A\cdot c=B\cdot c$
• $A:c=B:c,c\neq 0$

Решавање линеарне једначине са једном непознатом

За једначину облика $a\cdot x=b$ каже се да је сређена једначина.

Проблем решавања сваке линеарне једначине се одговарајућим трансформацијама своди на проблем решавања сређене једначине, односно њеног општег облика. Решити једначину значи трансформисати је тако да непозната остане на једној страни једнакости, док се на другој страни налази такав број, који ако се замени у почетну једначину или било коју еквивалентну једначину даје тачну једнакост.

Линеарна једначина са две непознате

Линеарна једначина са две непознате $x_{0}$ и $y$ је свака једначина еквивалентна једначини облика:

$ax+by+c=0.$

где су 𝑎, 𝑏, 𝑐 реални бројеви, а коефицијенти 𝑎 и 𝑏 нису једнаки 0 (a ≠ 0, b ≠ 0).

Решење линеарне једначине са две непознате је сваки уређен пар $(x_{0},y_{0})$ који заменом $x$ са $x_{0}$ и $y$ са $y_{0}$ ту једначину преводи у тачну бројевну једнакост.

Сваку линеарну једначину с две непознате можемо тумачити и као имплицитно задату линеарну функцију. Зато свакој таквој једначини придружујемо праву у координатном систему. Уређени пар координата сваке тачке те праве је једно од решења одговарајуће једначине.

То значи да линеарна једначина има бесконачно много решења, односно има онолико решења колико права $ax+by+c=0$ има тачака.

Примена

Линеарне једначине се често јављају у математици и њиховим применама у физици и инжењерству, делом зато што су нелинеарни системи често приближно могу представити преко модела линеарних једначина.

Литература

• Barnett, R.A; Ziegler, M.R; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11 изд.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3 
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag. 2008. ISBN 3-540-34186-2.
• Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag. 2004. ISBN 3-8274-1492-X.
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg. 2009. ISBN 3-528-66508-4.
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag. 2010. ISBN 3-540-76490-9.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag. 2009. ISBN 3-8348-0996-9.
• Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag. 2003. ISBN 3-446-22122-0.
• Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag. 2009. ISBN 3-540-64222-6.
• Бранковић, Биљана (2015). Системи једначина у школи са освртом на проблемске задатке мастер рад (PDF). Београд: Математички факултет Универзитет у Београду. Приступљено 21. 5. 2018. 

Види још

• Права (линија)

Спољашње везе

• Linear Equations and Inequalities Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Linear equation”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.