Скаларни производ вектора — разлика између измена
м Бот: по захтеву Садка |
. |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
'''Скаларни производ вектора''' је [[бинарна операција]] која као аргументе узима два [[вектор]]а а резултат јој је [[Скалар (математика)|скалар]]. То је посебан случај [[Унутрашњи производ|унутрашњег множења простора]]. Ако су ова два вектора ''-{a}-'' и ''-{b}-'' из [[векторски простор|векторског простора]] ''-{V}-'', запис ове операције је следећи: |
'''Скаларни производ вектора''' је [[бинарна операција]] која као аргументе узима два [[вектор]]а а резултат јој је [[Скалар (математика)|скалар]].<ref>{{cite book |last=Lay |first=David C. |title=Linear Algebra and Its Applications |url=https://archive.org/details/studyguidetoline0000layd |url-access=registration |publisher=[[Addison–Wesley]] |year=2006 |edition=3rd |isbn=0-321-28713-4}}</ref><ref>{{cite book |last=Strang |first=Gilbert |author-link=Gilbert Strang |title=Linear Algebra and Its Applications |publisher=[[Brooks Cole]] |year=2006 |edition=4th |isbn=0-03-010567-6}}</ref><ref>{{cite book |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |year=2002 |edition=2nd |isbn=0-387-98258-2}}</ref> То је посебан случај [[Унутрашњи производ|унутрашњег множења простора]]. Ако су ова два вектора ''-{a}-'' и ''-{b}-'' из [[векторски простор|векторског простора]] ''-{V}-'',<ref name="kadelburg1">{{Cite book|last=Аднађевић| first = Душан |authorlink = | others = Зоран Каделбург| editor = | others = | title = Математичка анализа I | origdate=| origyear= | origmonth = | url = | format = | accessdate=1. 7. 2018| accessyear=| accessmonth = | edition=8. допуњено|year=2008| publisher = Математички факултет| location = Београд | language = |isbn=978-86-7589-067-6|id={{COBISS|ID=145997068}}| doi = |pages=5| chapter = | chapterurl = | quote = }}</ref><ref>{{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=Nicolas Bourbaki | title=Topological vector spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Elements of mathematics | isbn=978-3-540-13627-9 | year=1987}}</ref> запис ове операције је следећи: |
||
:<math>(a,b) \mapsto a \cdot b</math> |
:<math>(a,b) \mapsto a \cdot b</math> |
||
Ред 13: | Ред 13: | ||
[[Датотека:Scalarproduct.gif|мини|300п|десно|Приказ стандардног скаларног производа вектора]] |
[[Датотека:Scalarproduct.gif|мини|300п|десно|Приказ стандардног скаларног производа вектора]] |
||
Скаларни производ вектора <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{y}</math> се дефинише на следећи начин: |
Скаларни производ вектора <math>\vec{x}</math> и <math>\vec{y}</math> се дефинише на следећи начин:<ref>{{Citation | last1=Dudley | first1=Richard M. | title=Real analysis and probability | publisher=Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software | location=Pacific Grove, CA | series=The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series | isbn=978-0-534-10050-6 | year=1989}}</ref><ref>{{Citation | last1=Dunham | first1=William | title=The Calculus Gallery | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-09565-3 | year=2005}}</ref> |
||
:<math>\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n</math> |
:<math>\vec x \cdot \vec y = |\vec x|\, |\vec y|\,\cos\measuredangle\left(\vec x, \vec y\right) = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots + x_n \, y_n</math> |
||
Ред 122: | Ред 122: | ||
* {{Cite book|ref=harv|last=Lipschutz|first=S.|last2=Lipson|first2=M.|title= Linear Algebra (Schaum’s Outlines)|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3|edition= 4th |year=2009|publisher= McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1|pages=}} |
* {{Cite book|ref=harv|last=Lipschutz|first=S.|last2=Lipson|first2=M.|title= Linear Algebra (Schaum’s Outlines)|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3|edition= 4th |year=2009|publisher= McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1|pages=}} |
||
* Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд |
* Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд |
||
* {{citation|last=Fraleigh|first=John B.|title=A First Course in Abstract Algebra|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|place=Reading|year=1976|isbn=0-201-01984-1}} |
|||
* {{citation|last=Hall|first= Marshall Jr.|title=The Theory of Groups|publisher=Macmillan|place=New York|year=1959}} |
|||
* {{citation|last1=Hardy|first1=Darel W.|last2=Walker|first2=Carol L.|author2-link=Carol Walker|title=Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms|publisher=Prentice-Hall|place=Upper Saddle River, NJ|year=2002|isbn=0-13-067464-8}} |
|||
* {{citation|last=Rotman|first=Joseph J.|title=The Theory of Groups: An Introduction|publisher=Allyn and Bacon|place=Boston|year=1973|edition=2nd}} |
|||
* {{cite book | last1 = Vieta | first1 = Franciscus | author-link1 = François Viète | title = In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua |
|||
|trans-title=Guide to the analytic art [...] or new algebra | url = https://books.google.com/books?id=BWTyywN39KEC | language = la | location = Tours | publisher = apud Iametium Mettayer typographum regium | date = 1591 | access-date = 2015-06-24 }} |
|||
* {{Cite book| ref=harv | last=Липковски| first = Александар |authorlink = Александар Липковски| title = Линеарна алгебра и аналитичка геометрија |year=2007| publisher = Завод за уџбенике | location = Београд|isbn=978-86-17-14540-6|id={{COBISS|ID=139743756}}|pages=}} |
|||
* {{Cite book| ref=harv | last=Милошевић| first = Иванка |authorlink = | title = Векторски простори и елементи векторске анализе | origyear=1997| url = http://bmw.ff.bg.ac.rs/Katedre/QMF/pdf/i1-6.pdf | format = PDF| accessdate=2. 12. 2010.| edition = |date=|year=| month = | publisher = Физички факултет Универзитета у Београду| location = Београд| id = }} |
|||
* {{Cite book| ref=harv | last=Cantrell| first = Cyrus D. | title = Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers| url = https://books.google.com/books?id=cwEs5AkGp0MC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false | format = | accessdate=14. 12. 2010. | accessyear=| accessmonth = | edition = |year=2000| month = | publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| language = {{ен}} |isbn=978-0-521-59180-5| doi =|pages=| chapter = | chapterurl = | quote = }} |
|||
* {{Cite book| ref=harv | last=Аднађевић| first = Душан|authorlink = |others = Зоран Каделбург| editor = | others = | title = Математичка анализа I| origdate=| origyear=| origmonth = | url = | format = | accessyear=| accessmonth = | edition=8. допуњено|year=2008| publisher = Математички факултет| location = Београд| language = |isbn=978-86-7589-067-6|id={{COBISS|ID=145997068}}| doi =| chapter = | chapterurl = |pages=5}} |
|||
* {{Citation | last1=Artin | first1=Michael | author1-link=Michael Artin | title=Algebra | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-89871-510-1 | year=1991}} |
|||
* {{Citation | last1=Blass | first1=Andreas | author1-link=Andreas Blass | title=Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics | mr=763890 | year=1984 | volume=31 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33 |chapter-url= http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf}} |
|||
* {{Citation | last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/matricesvectorsp0000brow }} |
|||
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}} |
|||
* {{Lang Algebra}} |
|||
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title=Algebra | edition=3rd | pages=193–222 | isbn=978-0-8218-1646-2 | year=1999}} |
|||
* {{Citation | last1=Meyer | first1=Carl D. | title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra | url=http://www.matrixanalysis.com/ | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | isbn=978-0-89871-454-8 | year=2000}} |
|||
* {{Citation | last1=Roman | first1=Steven | title=Advanced Linear Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-24766-3 |author-link=Steven Roman|pages=| year=2005 | volume=135}} |
|||
* {{Citation | last1=Spindler | first1=Karlheinz | title=Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups |
|||
| publisher=CRC | isbn=978-0-8247-9144-5 | year=1993}} |
|||
* {{Citation | last1=van der Waerden | first1=Bartel Leendert | author1-link=Bartel Leendert van der Waerden | title=Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=9th | isbn=978-3-540-56799-8 | year=1993|language=de}} |
|||
{{refend}} |
{{refend}} |
||
Ред 130: | Ред 151: | ||
* -{[http://www.mathreference.com/la,dot.html Explanation of dot product including with complex vectors]}- |
* -{[http://www.mathreference.com/la,dot.html Explanation of dot product including with complex vectors]}- |
||
* -{[http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ "Dot Product"] by Bruce Torrence, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.}- |
* -{[http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ "Dot Product"] by Bruce Torrence, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.}- |
||
* [https://web.archive.org/web/20101019064836/http://www.khanacademy.org/video/linear-algebra--introduction-to-vectors?playlist=Linear%20Algebra Линеарна алгебра: Увод у векторе], видео на [[Кан академија|Кан академији]] {{ен}} |
|||
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html Векторски простор] на -{Wolfram MathWorld}- {{ен}} |
|||
* [https://web.archive.org/web/20110902151835/http://xmlearning.maths.ed.ac.uk/lecture_notes/vector_spaces/intro/index.php Векторски простори], белешке за предавања, [[Универзитет у Единбургу]] {{ен}} |
|||
* [http://www.nptelvideos.com/video.php?id=289 Увод у векторске просторе], из серије предавања -{''Lecture Series on Quantum Physics'' by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras.}- {{ен}} |
|||
{{Нормативна контрола}} |
{{Нормативна контрола}} |
Верзија на датум 27. јун 2023. у 19:51
Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар.[1][2][3] То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V,[4][5] запис ове операције је следећи:
Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:
При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.
Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:[6][7]
Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:
- и
Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:
Доказ
Формула : се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:
Ако је , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:
Пошто је једнак , следи:
Одакле се налази:
Одатле се добија коначна формула:
Ортогонални вектори
Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори и узајамно нормални добија се:
- .
Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.
Особине
Скаларни производ вектора поседује следеће особине:
- дистрибутиван је у односу на сабирање
- у општем случају није асоцијативан
- за њега важи следеће:
Коришћење за израчунавање интензитета вектора
Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.[8]
Пошто је:
За специјалан случај када је једнакост прелази у:
- На основу тога се закључује:
Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.
Примена у физици
Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:
Геометријска интерпретација
Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.[9][10]
Троструки производ
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
Пројекција вектора на вектор
Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор[11] тј.
- скаларна пројекција вектора na vektor
- скаларна пројекција вектора na vektor
- векторска пројекција вектора на вектор
- векторска пројекција вектора на вектор
Последице скаларног множења
- [12]
- ili je bar jedan od vektora
- ()
Види још
Референце
- ^ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd изд.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
- ^ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th изд.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
- ^ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- ^ Аднађевић, Душан (2008). Математичка анализа I (8. допуњено изд.). Београд: Математички факултет. стр. 5. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
- ^ Dudley, Richard M. (1989), Real analysis and probability, The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6
- ^ Dunham, William (2005), The Calculus Gallery, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09565-3
- ^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14.
- ^ projekcija vektora na vektor
- ^ skalami proizvod a b= 0
Литература
- A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14.
- M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
- Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
- Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon
- Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [Guide to the analytic art [...] or new algebra] (на језику: латински). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. Приступљено 2015-06-24.
- Липковски, Александар (2007). Линеарна алгебра и аналитичка геометрија. Београд: Завод за уџбенике. ISBN 978-86-17-14540-6. COBISS.SR 139743756.
- Милошевић, Иванка. Векторски простори и елементи векторске анализе (PDF). Београд: Физички факултет Универзитета у Београду. Приступљено 2. 12. 2010.
- Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers (на језику: (језик: енглески)). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5. Приступљено 14. 12. 2010.
- Аднађевић, Душан (2008). Математичка анализа I (8. допуњено изд.). Београд: Математички факултет. стр. 5. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068.
- Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
- Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF), Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 31—33, MR 763890
- Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd изд.), стр. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
- Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
- Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
- van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (на језику: немачки) (9th изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8
Спољашње везе
- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld.
- Explanation of dot product including with complex vectors
- "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
- Линеарна алгебра: Увод у векторе, видео на Кан академији (језик: енглески)
- Векторски простор на Wolfram MathWorld (језик: енглески)
- Векторски простори, белешке за предавања, Универзитет у Единбургу (језик: енглески)
- Увод у векторске просторе, из серије предавања Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras. (језик: енглески)