Kolumbijski brojevi

Kolumbijski brojevi (eng. Ѕelf number, Colombian number or Devlali number) su po indijskom matematičaru Kaprekaru (Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905.-1986) celi brojevi koji nemaju svog generatora. Ovo svojstvo brojeva vezano je za bazu u kojoj su zapisani.

Broj generisan brojem, generator[uredi | uredi izvor]

Indijski matematičar Kaprekar (Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905.-1986) je 1949. godine izučavao brojeve koji se mogu predstaviti u obliku zbira nekog broja i cifara kojima je određen.

Na primer u dekadnom sistemu(baza je broj 10) za broj 56 važi: 56+5+6=67. Kažemo da je broj 67 generisan brojem 56 i pišemo Ѕ(56)=56+5+6=67.

Neki brojevi se mogu generisati sa više brojeva:

Ѕ(502)=502+5+0+2=509

Ѕ(493)=493+4+9+3=509^[1]

U ovom sistemu (baza 10) broj 20 je kolumbijski broj jer ne postoji broj kojim može biti generisan. Svaki broj manji od 15 kada se sabere sa svojim ciframa daće rezulat manji od 20, a svaki broj veći od 15, daće rezultat veći od 20. Broj 21 nije kolumbijski jer je

Ѕ(15)=15+1+5=21

Nekoliko kolumbijskih brojeva u dekadnom sistemu(baza 10):

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... (niz A003052 u OEIS)

Svojstvo[uredi | uredi izvor]

Da li će broj biti kolumbijski zavisi od brojevnog sistema pomoću kojeg je predstavljen broj. U opšteno govoreći,, za parne baze, svi neparni brojevi koji su manji od osnovnog broja su Kolumbijski brojevi, jer bi bilo koji broj manji od takvog neparnog broja morao biti i jednocifreni broj koji bi, kada se doda njegovom broju, rezultirao parnim brojem. Za neparne baze, svi neparni brojevi su kolumbijski brojevi.^[2]

Skup kolumbijski brojeva za datu bazu q je beskonačan i ima pozitivnu asimptotsku gustinu: kada je q neparna iznosi 1/2.^[3]

Rekurentna formula[uredi | uredi izvor]

Kolumbijski brojevi se mogu generisati sledećom rekurentnom relacijom:

1) U dekadnom sistemu(baza 10)

$C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8$

za k=2,3…, gde je $C_{1}=9$

2) U binarnom sistemu(baza 2)

$C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1$

za k=1,2…, gde je $C_{1}=1$ , a j broj cifara u $C_{k-1}$

Postojanje ovih rekurentnih relacija nam pokazuje da u bilo kom brojevnom sistemu, kolumbijskih brojeva ima beskonačno mnogo.

Kolumbijski prosti brojevi[uredi | uredi izvor]

Kolumbijski prosti brojevi su kolumbijski brojevi koji su ujedno i prosti brojevi.

Na primer:

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... (niz A006378 u OEIS)

Oktobra 2006. Luk Pibodi (Luke Pebody) je dokazao da je najveći poznati Mersenov broj istovremeno i kolumbijski broj. Od 2006 ovaj broj je najveći poznati kolumbijski prost broj.

Referenca[uredi | uredi izvor]

^ Čekrlija, Boris (2011). Priče o brojevima. Beograd: Matematiskop. str. 84. ISBN 978-86-7076-054-7.
^ Sándor & Crstici 2004, str. 384.
^ Sándor & Crstici 2004, str. 385.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Kaprekar, D. R. The Mathematics of New Self-Numbers Devaiali (1963): 19 - 20.
R. B. Patel (1991). "Some Tests for k-Self Numbers". Math. Student. 56: 206–210.
Recaman, Bernardo; Bange, D. W. (1974). „E2408”. The American Mathematical Monthly. 81 (4): 407. JSTOR 2319017. doi:10.2307/2319017. .
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
Weisstein, Eric W. "Self Number". MathWorld.

[1] Čekrlija, Boris (2011). Priče o brojevima. Beograd: Matematiskop. str. 84. ISBN 978-86-7076-054-7.

[FOOTNOTESándorCrstici2004384-2] Sándor & Crstici 2004, str. 384.

[FOOTNOTESándorCrstici2004385-3] Sándor & Crstici 2004, str. 385.

[1]

[2]

[3]