Дуални простор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Дуални простор (V*) векторског простора V је простор линеарних функционала на V у ознаци V^* = \hat{L} (V, \mathbb{F}). Другим речима, дуални простор је линеал свих линеарних функционала, тј. линеал оператора који векторе из V пресликава у скаларе из поља F.[1]

Дуални простор се преко појма полилинеарних функционала може искористи за увођење и дефиницију тензора.

Особине дуалних простора[уреди]

Дуални простор као векторски простор је дефинисан са две операције, сабирањем и скаларним множењем.


\begin{align}
    & (\varphi + \psi)(x) = \varphi(x) + \psi(x) \\
    & (a \varphi)(x) = a \left(\varphi(x)\right)
  \end{align}

Димензије простора V и V* су једнаке, а оба простора су и простори над истим пољем. Како су сви коначнодимензионални векторски простори исте димензије над истим пољем међусобно изоморфни, важи и V \cong V^*. Међутим, не постоји неки унапред одређени природни изоморфизам између та два простора. Веза између векторских простора V и V* је дуализам, дефинисан Риж-Фришеовим теоремом. Дуализам између V и V* је антизоморфизам (антилинеарна бијекција) када је F поље комплексних бројева, а изоморфизам када је дато поље реалних бројева.

Дуални простор V** дуалног простора V* је простор V. Уопштавањм ланца дуалних простора, парни степени дуалних простора у ланцу се могу идентификовати са V, а непарни са V*. Последица ове особине дуалних простора је да векторски простори V и V* формирају сва линеарна пресликавања у поље F тензорских простора.

Дуални простор је могуће разматрати и независно од простора V тако да се не узима у обзир чињеница да су његови вектори функционали простора V. Потребно је изабрати базис у простору V* и сваком вектору придружити колону по општем поступку репрезентовања n-димензионалног вектора колоном \mathbb{F}^n.[2]

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Дуални простори, Paul Skoufranis, 2012.
  2. ^ Векторски простори и елементи векторске анализе, Иванка Милошевић, Универзитет у Београду, 1997.