Кошијева интегрална формула

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области. Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.

Кошијева интегрална теорема[уреди]

Нека скуп D има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција f холоморфна на области D и непрекидна на \overline{D}, (f\in H(D), f\in C(\overline{D})), тада за произвољну тачку z\in D важи једнакост:

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi

Заправо, шире, важи формула:

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi =
 \begin{cases}
 f(z) & z\in D \\
 0 & z\not\in D
 \end{cases}

Доказ[уреди]

Први случај: нека z\not\in D.

Означимо функцију g(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi-z}. Ова функција је холоморфна над D, јер је f\in H(D) и јер је \xi-z\not=0 (z\not\in D). Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције g по \partial D једнак нули, тј.:

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}g(\xi)d\xi = 0

Други случај: нека z\in D.

Из скупа  исијечемо круг произвољног полупречника

Покушајмо из области D да исијечемо мали круг K=K[z,r]\subsetneq D (компактни подскуп од D) око тачке z и означимо новонасталу област са G=G\setminus K. Сада је јасно да се граница скупа G састоји од границе D и границе новог круга K, тј. прецизније \partial G=\partial D\cup\partial K^-. (D је оријентисана граница, те границу \partial K^- такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција g(\xi)=\frac{f(\xi)}{\xi-z} холоморфна над G, јер је f(\xi) холоморфна над D, дакле и над G, а \xi-z\not=0, јер z\not\in G. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

0=\int\limits_{\partial G}g(\xi)d\xi=\int\limits_{\partial D\cup\partial K^-}g(\xi)d\xi = \int\limits_{\partial D\cup\partial K^-}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi+\int\limits_{\partial K^-}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=0

Одавде се испоставља да је: \int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \Rightarrow \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi

Сада треба доказати да је:

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=f(z)

Пошто смо изабрали полупречник r произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник r такав да је K[z,r]\subsetneq D. Зато ћемо показати да је \lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=f(z). Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало r изједначити):

A=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-f(z)|=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(z)}{\xi-z}d\xi|=

(Ово последње слиједи из чињенице да је \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{1}{\xi-z}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_0^{2\pi}\frac{re^{i\theta}i}{z+re^{i\theta}-z}d\theta=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}d\theta=\frac{1}{2\pi}2\pi=1)

=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\xi-z|=r}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}d\xi|=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{f(z+re^{i\theta})-f(z)}{z+re^{i\theta}-z}re^{i\theta}id\theta|=|\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi}f(z+re^{i\theta})-f(z)d\theta|\leq\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{0}^{2\pi}|f(z+re^{i\theta})-f(z)|d\theta

Због непрекидности функције знамо да се f(z+re^{i\theta}) може довести произвољно близу f(z) за довољно мало r, тј. прецизније:

(\forall \epsilon>0)(\exist \delta>0)(\forall \theta)(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta})-f(z)| < \epsilon)

Одавде слиједи да за произвољно мало \epsilon можемо наћи довољно мало r да буде:

A<\frac{1}{2\pi}\epsilon\int_0^{2\pi}d\theta=\epsilon \Rightarrow \lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial K}\frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi=f(z)

Тиме је теорема доказана.

Види још[уреди]