Кошијев низ

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кошијев низ[a] је низ чији су узастопни елементи произвољно близу један другом за довољно велике индексе елемената.

Кошијев низ у скупу реалних бројева[уреди]

Низ реалних бројева, x1, x2, x3... назива се Кошијевим, ако за произвољно мало \epsilon може да се нађе индекс n0 за који је апсолутна разлика било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од \epsilon. Симболичким језиком писано, низ реалних бројева (xn) је Кошијев, ако:

(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall m, n\in\mathbb{N})(m, n>n_0 \Rightarrow |x_m-x_n| < \epsilon).

Кошијев низ у метричким просторима[уреди]

У метричком простору M, са метриком d, низ елемената скупа M је Кошијев, ако за произвољно мало \epsilon може да се нађе индекс n0 за који је удаљеност било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од \epsilon. Симболичким језиком писано, низ елемената (xn) метричког простора је Кошијев, ако:

(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall m, n\in\mathbb{N})(m, n>n_0 \Rightarrow d(x_m,x_n) < \epsilon).

Кошијев низ у метричким просторима могао би се дефинисати и на сљедећи начин:[1] Низ x1, x2, x3... је Кошијев ако удаљеност елемената xm и xn тежи нули кад мањи од индекса m и n тежи бесконачности. Симболичким језиком написано, низ елемената (xn) метричког простора је Кошијев, ако:

\lim_{min(m,n)\rightarrow\infty}d(x_m,x_n)=0.

Особине[уреди]

За Кошијеве низове, и у скупу реалних бројева,[2] и у произвољним метричким просторима,[3] важе сљедеће особине:

  1. Сваки конвергентан низ је Кошијев
  2. Сваки Кошијев низ је ограничен
  3. Ако Кошијев низ има конвергентан подниз, он је и сам конвергентан.

Обратно тврђење од тврђења 1, међутим, не мора увијек да важи. У скупу реалних бројева оно заиста важи, што се доказује посебном теоремом,[2] али не и у произвољном метричком простору.

Комплетност[уреди]

За оне метричке просторе за које је тачно да је сваки Кошијев низ конвергентан, каже се да су комплетни.[3][b] Један примјер комплетних метричких простора је управо горепоменути скуп реалних бројева, дефинисан стандардном метриком d(x,y) = |x-y|.

Види још[уреди]

Напомене[уреди]

  1. ^ Добио је име по француском математичару Огистену Лују Кошију.
  2. ^ Комплетност, као важна особина метричког простора, дефинисана на горе описани начин, услов је бројних математичких теорема; једна од таквих је и Банахова теорема о непокретној тачки, која је и сама важна за доказивање неких других математичких теорема.

Извори[уреди]

  1. ^ „Cauchy Sequence“. Wolfram MathWorld Приступљено 24. 9. 2009.. 
  2. ^ а б Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 59.
  3. ^ а б Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 247.

Литература[уреди]

  • Аднађевић, Душан; Каделбург, Зоран (1998). Математичка анализа I. Наука, Београд. ISBN 86-7621-088-8.