Огистен Луј Коши

Из Википедије, слободне енциклопедије
Огистен Луј Коши

Augustin-Louis Cauchy 1901.jpg
Огистен Луј Коши

Општи подаци
Датум рођења 21. август 1789.
Место рођења Париз (Француска)
Датум смрти 23. мај 1857.
Место смрти Со (Француска)
Рад
Поље математика

Огистен Луј Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; Париз, 21. август 1789Со, 23. мај 1857) истакнути француски математичар, професор универзитета у Паризу, један је од твораца теорије функција комлексне променљиве. Објавио радове из разних области математике и њених примена (теорија бројева, математичка анализа, теорија диференцијалних и парцијалних једначина, теорија полиедара, теоријска и небеска механика, математичка физика и др.), постављајући и решавајући нове проблеме и уводећи нове појмове и нове методе. Такође је развијао теорију таласа у оптици и радио је на теорији еластичности. Увео је следеће терминеу математици: модул и аргумент комлексног броја, конјуговани комплексни бројеви. Његова главна дела су: Курс анализе, Примена анализе у геометрији.

Кошијев критеријум конвергенције[уреди]

Кошијев општи критеријум конвергенције: за конвергенцију било којег бројевног или функционалног реда неопходно је и довољно да сваки сегмент тог реда a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p} постаје произвољно мали ако су n и p довољно велики.

Кошијева интегрална формула[уреди]

Коши је најпознатији по развијању теорије комплексне промењиве. Његово прво дело у овој области је тзв. " Кошијева интегрална формула" која се може математички записати као:


 \oint_C f(z)dz = 0,

где је f(z) функција на затвореној области C у комплексној равни.

Кошијев проблем[уреди]

Кошијев проблем је проблем налажења оног решења диференцијалне једначине које одговара задатим почетним условима.

Ресидум функције комплексне промењиве[уреди]

1826. године Коши је дао формалну дефиницију ресидума функције. Овај концепт се односи на функције које имају полове —изоловане сингуларитете, т.ј. тачке у којима функција иде у позитивну или негативну бесконачност. Ако се комплексна функција f(z) може развити у околини сингуларне тачке a као


f(z) = \phi(z) + \frac{B_1}{z-a} + \frac{B_2}{(z-a)^2} + \cdots + \frac{B_n}{(z-a)^n},\quad
B_i, z,a \in \mathbb{C},

где је φ(z) аналитичка функција, онда функција f има пол реда n у тачки a. Ако је n = 1, онда је то пол првог реда, ако је n = 2 онда је то пол другог реда итд.

Коефицијент B1 се зове по Кошију ресидум функције f у a. Ако f није регуларно у a, онда је ресидум функције f 0 у тачки a. У случају пола првог реда, ресидум функције f(z) је једнак :


\underset{z=a}{\mathrm{Res}} f(z) = \lim_{z \rightarrow a} (z-a) f(z),

где је B1 замењено модерном нотацијом за ресидум.

Основна Кошијева итегрална формула[уреди]

1831. године Коши је објавио формулу познату као Основна Кошијева интегрална формула,


f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz,

где је f(z) аналитичка функција у области C и где је a комплексан број који се налази негде у наведеној области.

Кошијев теорем о остацима (ресидуму)[уреди]

Исте године Коши је извео теорем о ресидуму,


 \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz = \sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\mathrm{Res}} f(z),

где је сума ресидума по свим половима n функције f(z) на области C једнака интегралу по затвореној области С помноженим са : \frac{1}{2\pi i} .

Ови Кошијеви доприноси представљају саму срж "Теорије функција комплексне промењиве" коју данас изучавају физичари и инжињери електротехнике.

Спољашње везе[уреди]