Лопиталово правило

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математичкој анализи, Лопиталово правило омогућава налажење извесних граничних вредности са „неодређеним облицима“ помоћу извода. Примена (или узастопна примена) Лопиталовог правила може претворити неодређене облике у одређене облике, омогућавајући лако рачунање лимеса. Правило је добило име по 17. вековном француском математичару Гијому де Лопиталу, који је објавио правило у својој књизи Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (дословно: Анализа бесконачно малог како би се разумеле криве) (1696.), што је прва књига о диференцијалној анализи.

Верује се да је правило дело Јохана Бернулија, пошто је Лопитал, који је био племић плаћао Бернулију 300 франака годишње, да га обавештава о открићима на пољу анализе, и да му помогне у решавању проблема. Међу овим проблемима је био лимес неодређених облика. Када је Лопитал објавио књигу, дао је заслуге Бернулију, и не желећи да преузме заслуге за било шта у књизи, рад је објавио анонимно. Бернули, који је био врло љубоморан, је тврдио да је он стваралац целокупног дела, и до скора се веровало да је тако. Па ипак, правило је названо по Лопиталу, који никад није ни тврдио да га је измислио.[1].

Преглед[уреди]

Увод[уреди]

У простим случајевима, Лопиталово правило гласи да за функције f(x) и g(x), ако \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0 или \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\infty, тада:

\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

где прим (') означава извод.

Међу осталим условима, да би ово правило важило, мора да постоји лимес \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Остали услови су детаљније изложени доле, у формалном исказу.

Формални исказ[уреди]

Лопиталово правило се, у основном облику, односи на граничне вредности разломка f(x)/g(x) \ када се и f и g ближе 0, или се и f и g ближе бесконачности. Лопиталово правило тврди да ту граничну вредност можемо наћи рачунајући лимес разломка f'/g' \ , али наравно само ако овај потоњи постоји, и уз услов да је g′ различито од нуле у неком интервалу који садржи тачку која се посматра. Ова диференцијација може поједноставити разломак или га претворити у одређени облик, што олакшава налажење лимеса.


Лопиталово правило.

Нека је \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. Нека је c \in \mathbb{R}^* и нека су f и g две функције диференцијабилне на неком отвореном интервалу (a, b) који садржи c (дакле са b=\infty ако c=\infty или са a=-\infty ако c=-\infty), изузев, могућно, у самој тачки c, и такве да је
\lim_{x\to c}{f(x)} = \lim_{x\to c}g(x) = 0  или  \lim_{x\to c}{|f(x)|} = \lim_{x\to c}{|g(x)|} = +\infty
и да је g'(x) \neq 0 за свако x\in(a,b), x\ne c.
Тада, ако постоји гранична вредност
\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A,  A \in \mathbb{R}^*
онда је и
\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=A.


Лопиталово правило важи и за једностране лимесе.

Основни неодређени облици на које се Лопиталово правило односи су:

{0\over 0}\qquad {\infty\over\infty}

Остали неодређени облици, који се сви могу свести на основне (види примере) су

{\infty\qquad 0\cdot\infty\qquad 0^0\qquad\infty - \infty\qquad}

Важност услова теореме[уреди]

Важно је имати у виду услов да је неопходно да лимес \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} постоји. Диференцијација бројиоца и имениоца неодређених облика може ове облике да доведе до лимеса који не постоје. У тим случајевима, Лопиталово правило се не може примењивати и оставља питање постојања и вредности евентуалне граничне вредности потпуно отвореним. На пример, ако f(x)=x+\sin(x) и g(x)=x, онда

\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}(1+\cos(x))

не постоји, док је

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

У пракси се правило често користи, и ако лимес постоји, доноси се закључак да је примена Лопиталовог правила била легитимна.

Такође постоји услов да извод од g не нестане кроз цео интервал који садржи тачку c. Без такве хипотезе, закључак је погрешан. Стога се Лопиталово правило не може користити, рецимо, ни у случајевима где први извод имениоца изразито осцилује (мењајући притом знак) близу тачке где се тражи лимес. На пример ако f(x)=x+\cos(x)\sin(x) и g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x)), тада

\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos^{2}{x}}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}
= \lim_{x\to\infty}\frac{2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0

док

\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{\sin(x)}}

не постоји, јер \frac{1}{e^{\sin(x)}} флуктуира између e-1 и e.

Јасно, Лопиталово правило се не може примењивати за налажење неодређених граничних вредности код којих нису и бројилац и именилац диференцијабилне функције.

Примери[уреди]

  • Следи пример који се тиче sinc функције, која има облик 0/0 :
\lim_{x \to 0} \mathrm{sinc}(x)\, = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}\, = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\,
= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{1}{1} = 1\,
Овај лимес се заправо може видети као дефиниција извода од sin(x) у x = 0. Заправо, он је неопходан у најчешћем доказу да је извод од sin(x) једнак cos(x), али се у том доказу не може користити Лопиталово правило, јер би тако дошло до кружног аргумента. Види #Логичка циркуларност доле.
  • Следи детаљнији пример који укључује неодређени облик 0/0. Једнократна примена правила за резултат опет има неодређени облик. У овом случају, лимес се може добити троструком применом Лопиталовог правила:
\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x} =\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}
=\lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}
=\lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}
={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0}
=6\,
  • Следи још један случај са 0/0:
\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}
  • Овде је случај ∞/∞:

  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x}\,)\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty
  • Овај се тиче ∞/∞. Нека је n природан број.
\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x}
=\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x}
=n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}
Понављати горње све док експонент не постане 0. Тада се добије да је лимес 0. Ова гранична вредност нам говори да све степене функције расту (дивергирају бесконачности) спорије од експоненцијалне.
  • Овај пример се такође тиче ∞/∞:
\lim_{x\to 0+} x\ln x=\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0


  • Претходни резултат се може користити код неодређеног облика 0^0: Како би израчунали \lim_{x\to 0+} x^x, записујемо x^x као  e^{x \ln x} и добијамо
 \lim_{x\to 0+} x^x  = e^{\lim_{x\to 0+} (x  \ln x )} = e^0 = 1.
  • Ово је импулсни одговор издигнуто-косинусног филтера у електроници:
\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} = \left\{\lim_{t\to 0}\, \mathrm{sinc}(f_0 t)\right\}\cdot \left. \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} \, \right|_{t = 0}
= 1 \cdot 1 = 1
\lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \mathrm{sinc}(f_0 t)\cdot \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]} = \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \lim_{t\to \frac{1}{2\alpha f_0}} \frac{\cos\left(\pi \alpha f_0 t\right)}{\left[1 - \left(2 \alpha f_0 t\right)^2\right]}
= \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2\alpha}\right)\cdot \left(\frac{-\pi /2}{-2}\right)
= \sin\left(\frac{\pi}{2\alpha}\right)\cdot \frac{\alpha}{2}

Докази Лопиталовог правила[уреди]

Најчешћи доказ Лопиталовог правила користи Кошијеву теорему о средњој вредности. Потребно је засебно размотрити четири случаја, већ према томе да ли је c\in{\mathbb R} или c\in\{\pm\infty\} те да ли је A\in{\mathbb R} или A\in\{\pm\infty\}. Ова разматрања се разликују у детаљима али прате сличне основне идеје; овде су обрађени случајеви када је c коначно.

Код неодређеног облика 0 са 0[уреди]

Нека f(x) \to 0, g(x) \to 0. Ако предефинишемо функције f и g у тачки c тако да је f(c)=g(c)=0, оне ће бити непрекидне на затвореном интервалу [c, b] и диференцијабилне на (c, b). Ово не мења лимес, јер лимес (по дефиницији) не зависи од вредности у датој тачки.

Овако предефинисане функције f и g задовољавају услове Кошијеве теореме о средњој вредности, према којој постоји тачка \xi у  c < \xi < c+h таква да:


  \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} 
= \frac{f(c + h) - f(c)}{g(c + h) - g(c)}

Како f(c) = g(c) = 0,

 \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(c + h)}{g(c + h)}

Када h \to 0, имамо \xi \to c и стога


\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
= \lim_{\xi\to c}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
= \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)}{g(c+h)} 
= \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}

Код неодређеног облика бесконачно са бесконачно[уреди]

Случај када је |g(x)| \to +\infty се разматра слично. Нека је  c < x < y = x + h. Тада, према Кошијевој теореми о средњој вредности, постоји x<\xi<y такво да је


\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}

Записујемо ово у облику


\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(y)}{g(x)} + \left [ 1 - \frac{g(y)}{g(x)} \right] \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

а затим показујемо да вредности f(x)/g(x) теже ка A пуштајући лимес када x \to c и h \to 0. Наиме, ако је h > 0 фиксирано али притом подесно мало, када x\to c биће f(y)/g(x)\to 0 и g(y)/g(x)\to 0, као и c<\xi<c+h+\epsilon и стога f'(\xi)/g'(\xi) по жељи блиско A. Пуштајући потом лимес када h \to 0 следи f(x)/g(x)\to A. Ово резоновање се најлакше може формализовати коришћењем горњег и доњег лимеса.

Остале примене[уреди]

Многи други неодређени облици, попут 1^\infty, \infty^0, и \infty-\infty могу бити израчунати помоћу Лопиталовог правила.

На пример, у случају \infty-\infty, разлика две функције се претвара у разломак:


  \lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x}
= \lim_{x \to \infty} \frac{ \left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)
                             \left(x - \sqrt{x^2 - x}\right) }
                           { x + \sqrt{x^2 - x} } 
\quad

= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad

= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad

= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}}
= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
\quad

Правило се може коритити и на неодређеним облицима који укључују експоненте, коришћењем логаритама да се „спусти експонент“.

Друге методе рачунања лимеса[уреди]

Мада је Лопиталово правило моћно оруђе за рачунање иначе тешко израчунљивих лимеса, оно није увек најлакши начин. Неке лимесе је лакше рачунати коришћењем развоја у Тејлорове редове.

На пример,


  \lim_{|x| \to \infty} x \sin {1 \over x}
= \lim_{|x| \to \infty} x
    \left({1 \over x} - {1 \over x^3 \cdot 3!}
         + {1 \over x^5 \cdot 5!} - \cdots \right) 
\;

= \lim_{|x| \to \infty} 1 - {1 \over x^2 \cdot 3!}
                        + {1 \over x^4 \cdot 5!} - \cdots\; =\; 1
\quad

Да употребимо Лопиталово правило, граничну вредност овог разломка можемо записати као:


 \lim_{|x| \to \infty}\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}
,

те применом Лопиталовог правила, добијамо:


 L = \lim_{|x| \to \infty}\ {{\cos {1 \over x} \cdot  {-1 \over x^2}}\over {-1 \over x^2}}

= \lim_{|x| \to \infty} {\cos{1 \over x}} \cdot {-1 \over x^2} \cdot {x^2 \over -1}

= \cos{1 \over \infty} = \cos{\ 0} = 1

Логичка циркуларност[уреди]

У неким случајевима, коришћење Лопиталовог правила може да доведе до кружног закључивања, при рачунању лимеса као што су

\lim_{h\to 0}{(x+h)^n-x^n \over h}.

Ако се израчуната вредност горњег лимеса користи у сврху доказивања да

{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,,

а Лопиталово правило и чињеница да

{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,

у израчунавању лимеса, аргумент користи очекивани резултат да докаже самог себе, и стога је погрешан (чак иако се испостави да је закључак доказа ипак тачан).

Референце[уреди]

  1. ^ Finney, Ross L. and George B. Thomas, Jr. Calculus. 2nd Edition. P. 390. Addison Wesley, 1994.

Спољашње везе[уреди]